Подготовил студент первого курса Подшивало в Владимир

Подготовил : студент первого курса Подшивало в Владимир ИО-15 -2 Проверил: Винокуров С. Д.

План n 1. Историческая справка n 2. Основы теории множеств. n 3. Основные операции над множествами. n n 1. 1. Зарождение теории множеств. 1. 2 Критика. 2. 1. Основные определения. 2. 2. Основные обозначения. 3. 1. Равенство, включение, объединение множеств. 3. 2. Пересечение множеств. 3. 3. Разность множеств. 3. 4. Свойства операций над множествами. Примечания. Список использованной литературы.

Историческая справка Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект рассматривался как «множество» . Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества — множества натуральных чисел. Первыми результатами Кантор делится в переписке с Рихардом Дедекиндом и Карлом Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой в письмах. В то же время программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Среди последних особенно выделялся Леопольд Кронекер, утверждавший что математическими объектами могут считаться только натуральные числа и все, что к ним сводится. Тем не менее, Кантор нашел поддержку среди других математиков, считающих нужным перевести математику на теоретико-множественный язык. В частности – Готлоб Фреге и Давид Гильберт. Совокупность взглядов Кантора и его единомышленников получила впоследствии название «наивной» теории множеств.

Критика Размытость понятия множества в наивной теории, при которой допускалось построение множеств лишь по признаку сбора всех объектов, обладающих каким-либо свойством, привела к тому, что в период 1895— 1925 годов была обнаружена значительная серия противоречий(1), внесшая серьёзные сомнения в возможность использования теории множеств как фундаментального инструмента. Кантор постепенно сам приходит к мысли о противоречивости некоторых положений его системы. Наиболее значительным противоречием, повлиявшим на дальнейшее развитие теории множеств и оснований математики в целом стал парадокс Рассела(2), обнаруженный в 1901 году Бертраном Расселом и опубликованный в 1903 году в монографии «Основания математики» . В результате осмысления возникших парадоксов в сообществе математиков возникло два направления по разрешению возникших проблем: 1) Формализация теории множеств посредством подбора системы аксиом, которая обеспечит отсутствие противоречивости и сохранит инструментальную мощь теории. (Аксиоматическая теория множеств) 2) Исключение из рассмотрения всех не поддающихся интуитивному осмыслению конструкций и методов. (интуиционизм)

Основные определения: Понятие множества — является одним из фундаментальных понятий математики и не имеет точного определения. Как правило, для объяснения смысла понятия «множество» приходиться прибегать к описательным формулировкам, характеризующим множество как совокупность различных элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементы множества — отдельные объекты, из которых состоит множество. Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Эту теорию создали во второй половине XIX века Георг Кантор и Рихард Дедекинд, выдающиеся немецкие ученые-математики. Теория множеств стала основой многих разделов математики и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математической науки.

Основные обозначения Как правило множества обозначают большими буквами латинского алфавита: A, B, C, X, N… n Элементы обозначаются соответствующими маленькими буквами, хотя иногда от этого правила приходится отступать, поскольку одно множество может являться элементом другого. Записывается это так: a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X» ; a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X» n За некоторыми множествами закреплены определенные обозначения, например: n N – множество натуральных чисел; n Z – множество целых чисел; n Q – множество рациональных чисел; n

Равенство, включение, объединение множеств. Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А. n Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис. 1 ) или множество А является подмножеством мно жества В ( в этом случае пишут А ⊂ В ), если ⊂ каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В. Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: ∅ ⊂ А и А имеют место включения: ∅ ⊂ А. n Объединение множеств A и B — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B, т. е. принадлежат A или принадлежат B. Объединение множеств A и B обозначается как A∪B

Пересечение множеств A и B — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. Пересечение множеств A и B обозначается как A∩B.

Разность множеств определена только для двух множеств. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат X и не принадлежат Y. Разность множеств X и Y обозначается как X – Y n Симметричная разность множеств А и В ( пишется А В ) есть множество: А В = ( А – В ) ( В – А ). n

Свойства операций над множествами. n n n n 1) Транзитивность. (если А ⊂ В и В ⊂ С, то А ⊂ С; если А ⊂ В и В ⊂А, то А = В) 2) Коммутативность сложения. (А ∪ В= В ∪ А) 3) Коммутативность умножения. (А ∩ В= В ∩ А) 4) Ассоциативность сложения. ( А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) 5) Ассоциативность умножения. ( А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) 6) Дистрибутивность умножения относительно сложения. А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ (А ∩ С) 7) Дистрибутивность умножения относительно вычитания. А ∩ (В - С) = (А ∩ В) - (А ∩ С) 8) Дистрибутивность сложения относительно умножения. А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ (А ∪ С)

Примечания n n (1) Имеются в виду парадоксы Кантора, Бурали. Форти, Рассела, Тристрама Шенди, Хаусдорфа. (2) Парадокс Рассела формулируется так: Пусть К — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента". Если предположить, что К не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь К — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя. Так же известен как «парадокс брадобрея» или «парадокс лжеца»

Список использованной литературы. n n n n http: //www. bymath. net/studyguide/sets/sec/sets 2. htm https: //ru. wikipedia. org/wiki/%D 0%9 C%D 0%BD%D 0%BE%D 0% B 6%D 0%B 5%D 1%81%D 1%82%D 0%BE#. D 0. 98. D 1. 81. D 1. 82. D 0. BE. D 1. 80. D 0. B 8. D 1. 8 F_. D 0. BF. D 0. BE. D 0. BD. D 1. 8 F. D 1. 82. D 0. B 8. D 1. 8 F https: //ru. wikipedia. org/wiki/%D 0%A 2%D 0%B 5%D 0%BE%D 1% 80%D 0%B 8%D 1%8 F_%D 0%BC%D 0%BD%D 0%BE%D 0%B 6%D 0%B 5%D 1%81%D 1%82%D 0%B 2 http: //mathhelpplanet. com/static. php? p=teoriya-mnozhestvosnovnyye-ponyatiya-i-opredeleniya http: //dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/1054224#. D 0. 90. D 0. BA. D 1. 81. D 0. B 8. D 0. BE. D 0. BC. D 0. B 0. D 1. 82. D 0. B 8. D 1. 87. D 0. B 5. D 1. 81. D 0. BA. D 0. B 0. D 1. 8 F_. D 1. 82. D 0. B 5. D 0. BE. D 1. 80. D 0. B 8. D 1. 8 F_. D 0. BC. D 0. BD. D 0. BE. D 0. B 6. D 0. B 5. D 1. 81. D 1. 82. D 0. B 2 http: //dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/56326 http: //dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/10714 http: //stu. sernam. ru/book_algebra. php? id=23

Спасибо за внимание!