По правилу параллелепипеда Но Поэтому вектор

• По правилу параллелепипеда Но Поэтому вектор можно представить в виде и дать другое определение координат вектора.

• Определение. Коэффициенты X, Y, Z разложения вектора по векторам называются координатами вектора. • Формула задает представление вектора в системе орт.

• Определение. Координатами точки М называются координаты её радиус-вектора. Пишут

• Основные формулы:

• Пример. Даны точки А(5, 3, – 2) и В(3, 0, 4). Записать вектор в системе орт и найти его длину.

• Решение. • или

Скалярное произведение векторов • Определение. Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения: • 1. • 2. • 3. • 4.

• Если то скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

Приложения скалярного произведения к задачам геометрии и механики.

• Угол между векторами

• Проекция вектора на направление другого вектора • Так как то

• Работа силы (механический смысл скалярного произведения). • Работа А силы при прямолинейном перемещении тела на вектор под действием силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

• Пример. Дан треугольник с вершинами A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(4, 3, 2). • Найти угол и проекцию вектора на вектор.

• Решение. Находим координаты векторов:

• Тогда

• Пример. • Найти работу силы , если её точка приложения движется прямолинейно из точки A(2, -1, 3) в точку B(6, 1, 5).

• Решение. Найдем вектор перемещения: • Тогда работа

Векторное произведение векторов • Векторным произведением векторов и называется вектор , обозначаемый который удовлетворяет следующим трём условиям: ,

• 1. • 2. • 3. тройка – правая (т. е. при наблюдении из конца вектора кратчайший поворот от к виден совершающимся против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения • 1. • 2. • 3. • 4.

• Если то векторное произведение вычисляется по формуле

Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики.

• Площадь параллелограмма • Площадь треугольника (геометрический смысл векторного произведения).

• • Момент силы (механический смысл векторного произведения). Пусть точка А твердого тела закреплена, а в точке В приложена сила. Тогда возникает вращающий момент

• Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7, 3, 4), B(1, 0, 6) , C(4, 5, -2).

• Решение. Находим векторы • Вычисляем векторное произведение

• Тогда

Смешанное произведение векторов • Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число

• Если • то

Приложения смешанного произведения к задачам геометрии

• Объём параллелепипеда, • Объём пирамиды построенного на векторах (геометрический смысл смешанного произведения).

• Условие компланарности векторов в координатной форме: – компланарны

• Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(4, 0, 6), D(2, 3, 8).

• Решение. Находим векторы Вычислим смешанное произведение этих векторов:

• Тогда