Плясуновой Дарьи МОУ СОШ 1 10 А класс

Плясуновой Дарьи МОУ СОШ № 1 10”А” класс Свердловская область Нижнесергинский район г. Михайловск

1 Определение 2 Алгебраическое построение 2. 1 Целые p-адические числа 2. 1. 1 Стандартное определение 2. 1. 2 Определение через проективный предел 2. 1. 3 Свойства 2. 2 p-адические числа 2. 2. 1 Определение как поля частных 2. 2. 2 Свойства 3 Метрическое построение 4 Свойства 5 Применения 6 Литература 7 Ссылки

p-ади ческое число (произносится: пэ-адическое) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

-Целые p-адические числа -Стандартное определение Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность вычетов xn по модулю pn, удовлетворяющих условию Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца

-Определение через проективный предел В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чисел определяется как предел колец вычетов по модулю pn относительно естественных проекций Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p, но и любого составного числа m — получится т. н. кольцо m-адических чисел, но это кольцо в отличие от обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

-Свойства Обычные целые числа вкладываются в кольцо p-адических чисел очевидным образом: x = {x, x, . . . } и являются подкольцом. Беря в качестве элемента класса вычетов число такое, что мы можем записать каждое целое p- адическое число в виде x = {a 1, a 2, . . . } однозначным образом. Такой вид называется каноническим. Записывая каждое an в p-ичной системе счисления и учитывая что мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде или записывая в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления (в нашем примере p=5).

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, точно таких, как у исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе − 1=… 4444=(4). Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается

-p-адические числа -Определение как поля частных p-адическим числом называется элемент поля частных кольца целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел. -Свойства Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p обратимо в кольце , а кратное p однозначно записывается в виде xpn, где x не кратно p и поэтому обратимо, а n > 0, то ясно, что любой ненулевой элемент поля может быть записан в виде xpn, где x не кратно p а n любое, если n отрицательно, то исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления мы можем записать любое такое p-адическое число в виде последовательности . то есть формально в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа. Так, в той же пятеричной системе имеем:

Любое рациональное число r можно представить как где a и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целое. Тогда | r | p — p-адическая норма r — определяется как p − n. Если r = 0, то | r | p = 0. Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой dp, определённой p-адической нормой: dp(x, y) = | x − y | p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Норма | r | p продолжается по непрерывности до нормы на

Каждый элемент x-поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда . где n 0 — некоторое целое число, а ai — целые неотрицательные числа, не превосходящие p − 1, а именно взяв в качестве ai цифры из записи p-адического числа x в виде последовательности цифр в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике dp к самому x. p-адическая норма | x | p удовлетворяет сильному неравенству треугольника Числа с условием образуют кольцо целых pадических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел норме | x | p Числа . с условием | x | p = 1 образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами Совокупность чисел с условием | x | p < 1 является главным идеалом в с образующим элементом p.

метрическое пространство гомеоморфно Канторову множеству, а пространство гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой. Для различных p нормы | x | p независимы, а поля неизоморфны Для любых элементов r 2, r 3, r 5, r 7, …, таких что и . можно найти последовательность рациональных чисел xn, таких что для любого p, и

Если - многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения эквивалентна разрешимости уравнения в целых pадических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным. На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (Hensel’s lemma), при n = 1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при n = 1 для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k = 1.

http: //ru. wikipedia. org/wiki/P%D 0%B 0%D 0%B 4%D 0%B 8%D 1%87%D 0%B 5%D 1%81%D 0%BA%D 0%BE %D 0%B 5_%D 1%87%D 0%B 8%D 1%81%D 0%BB%D 0%BE httpgo. mail. ruframe. htmlq=%F 6%E 8%F 4%F 0%FB%20%E 2%20%EA%E 0 %F 0%F 2%E 8%ED%EA%E 0%F 5%20%E 4%EB%FF%20%E 4%E 5%F 2%E 5%E 9&rch=l&jsa=1&sf=0&cf=4#cf=4