Плоскость в пространстве Геометрия 1 курс Доц М

Плоскость в пространстве Геометрия 1 курс Доц. М. С. Ананьева

Вопросы n n Плоскость в аффинной и прямоугольной системе координат: различные виды уравнений. Аффинные и метрические задачи по теме «Плоскость» . Направляющие векторы плоскости. Параметрические уравнения плоскости, заданной точкой и двумя направляющими векторами. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнения плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору. Геометрический смысл первых трех коэффициентов общего уравнения. Геометрический смысл знака четырехчлена общего уравнения. Аффинные задачи. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Связка и пучки плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Метрические задачи. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Общее уравнение плоскости n n n В аффинной системе координат задана плоскость : Ax+By+Cz+D=0 (6. 1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны нулю

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Уравнение плоскости в отрезках

Уравнение плоскости в отрезках n Примечание: n уравнение в отрезках справедливо и в аффинном репере n (Выведите самостоятельно).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения

Нормированное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости

Геометрический смысл знака четырехчлена Аx+By+Cz+D

Геометрический смысл знака четырехчлена Аx+By+Cz+D n n n Геометрический смысл знака четырехчлена состоит в том, что для всех точек одного полупространства, границей которого является плоскость : =0, этот знак один и тот же. Таким образом, для всех точек, лежащих в одной той же полупространства, знак четырехчлена положителен, в противоположной – отрицателен. Для того, чтобы установить, лежат ли точки по одну и ту же сторону от плоскости (или по разные стороны) от нее, достаточно подставить их координаты в четырехчлен и сравнить знаки полученных результатов. n Примечание. Правило справедливо и для аффинной плоскости, так как при выводе использовались только «аффинные» свойства: условие коллинеарности векторов и принадлежности точек плоскости.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ n n n Определение 6. 2. Совокупность плоскостей, проходящих через одну точку Р, называется связкой плоскостей Точка Р – центр связки.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ n n Определение 6. 3. Совокупность плоскостей, проходящих через одну прямую а, называется пучком пересекающихся плоскостей n n n эллиптическим, собственным. Прямая а – ось пучка

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ n Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т. е. системой уравнений:

ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ

ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ Пример 2. В пучке, определяемом плоскостями 2 х–у+5 z– 3=0 и х+у+2 z+1=0, найдите плоскость, которая проходит через точку М(1; 0; 1). Решение. Уравнение пучка имеет вид (2 х-у+5 z-3) + (х+у+2 z+1)=0, где и не обращаются в нуль одновременно. Перегруппируем уравнение пучка: (2 + )x + (– + )y + (5 +2 )z– 3 + = 0. Подставим координаты точки М в уравнение пучка: (2 + )1 + (– + )0+ (5 +2 )1– 3 + = 0. =–. Выберем =1, =– 1. Тогда (2 x–y +5 z– 3)–(x + y +2 z +1) = 0 или х– 2 у+3 z– 4=0.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ n n Определение 6. 4. Совокупность параллельных между собой плоскостей называется пучком параллельных плоскостей n n гиперболическим, несобственным.

ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ

6. 3. 1. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости

6. 3. 2. Угол между плоскостями

Угол между плоскостями

6. 3. 2. Расстояние между параллельными плоскостями