ПЛОСКОСТЬ Плоскость может быть задана 1 Г А В

ПЛОСКОСТЬ. Плоскость может быть задана: 1) Г(А; В; С) 2) Q (С; m) 3) Е (l∩n) 4) Ф (k//c) 5) Δ (АВС) 6) Σ (р2; р1)

Плоскости бесконечны и непрерывны. Ограниченная часть плоскости называется отсеком. Если проекции плоскости ориентированы одинаково - плоскость восходящая, если проекции ориентированы разному- нисходящая. Плоскости частного положения – это плоскости параллельные или перпендикулярные плоскости проекций.

1) Проецирующие плоскости - это плоскости ┴ только к одной плоскости проекций, а к двум другим плоскостям проекций расположены под <. Ни на одной плоскости проекций такие плоскости не видны в натуральную величину. Г ┴ П 1 Q ┴ П 2 Δ ┴ П 3

2) Плоскости уровня – это плоскости параллельные к одной плоскости проекций, а к двум другим пл. пр. ┴. Любой геометрический образ (прямая, Δ и т. д. ) будет отображаться в натуральную величину на той плоскости проекций которой эта плоскость //. Все плоскости частного положения обладают собирательными свойствами. Г // П 1 Q // П 2 Δ // П 3

СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ Следами плоскости называются прямые линии, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций. В общем случае плоскость имеет три следа : горизонтальный, фронтальный и профильный. P 1, P 2, P 3

Прямые и точки, лежащие в плоскости 1) Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Дано: Г(m//n)-о. п. l ϵ Г Решение: 1) 11 ϵ n 1 ˄ 12 ϵ n 2 ; 11 → 12 => 1 ϵ n; 21 ϵ m 1 ˄ 22 ϵ m 2 ; 21 → 22 => 2 ϵ m; 2) 1 ϵ n ϵ Г => 1 ϵ Г; 2 ϵ m ϵ Г=> 2 ϵ Г; 3) 1; 2 ϵ l => l ϵ Г

2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку этой плоскости и // прямой этой плоскости. . Дано: Г(A; m)-о. п. l ϵ Г Решение: 1) А 2 ϵ l 2 ˄ l 2 // m 2; А 1 ϵ l 1 ˄ l 1 // m 1; 2) m // l ; А ϵ l => l ϵ Г

3) Построить прямую принадлежащую горизонтально проецирующей плоскости. Дано: Г(Г 1) ┴ П 1 l ϵ Г Решение: Г 1 = l 1 – на основании собирательных свойств проецирующих плоскостей.

1) Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. 2) Для того, чтобы построить точку в плоскости необходимо провести в плоскости прямую, принадлежащую плоскости и построить на этой прямой точку. Дано: Г (AB // CD) - о. п. E ϵ Г Решение: 1) l ϵ Г; 2) E ϵ l => E ϵ Г

Дано: Г (ABС) - о. п. К ϵ Г Решение: 1) n ϵ Г; 2) К ϵ n => К ϵ Г

ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ 1) Горизонтали плоскости - прямые, лежащие в плоскости и // П 1. h 2 // оси х h 1 ┴ оси х

2) Фронтали плоскости - прямые, лежащие в плоскости и // П 2. f 1 // оси х f 2 ┴ оси х

3) Линия наибольшего ската плоскости - прямая ┴ горизонтали плоскости. Горизонтальная проекция линии ската составляет прямой угол с горизонтальными проекциями горизонталей плоскости. n 1 (11; 21) ┴ h 1 (A 1 D 1)

Построить в плоскости главные линии плоскости: горизонталь, фронталь, профиль, линию ската Дано: Г(ABC)-о. п. h, f, p, n ϵ Г Решение: 1) A 2 ϵ h 2 ┴ A 2 A 1 h 2 (A 2 22) -> h 1 (A 1 21) 2) A 1 ϵ f 1 ┴ A 1 A 2 f 1 (A 111) -> f 2 (A 212) 3) B 2 ϵ p 2 ┴ ox; p 2 (B 232) -> p 1 (B 131) 4) B 1 ϵ n 1 ┴ h 1 ˄ n 1∩ h 1=41; n 1 (B 141) -> n 2 (B 242)

Определение натуральной величины плоскости общего положения методом замены плоскостей проекций. Алгоритм решения: 1) Строим в пл. АВС прямую уровня h – горизонталь (AF); A 2 F 2 // х 2) Берем новую плоскость П 4 ┴ h 1 (A 1 F 1). Горизонталь h проецируется на П 4 в (. ), а плоскость АВС в прямую, т. е. проецирующую плоскость А 4 В 4 С 4. 3) Берем новую плоскость П 5 // АВС (А 4 В 4 С 4). На П 5 плоскость АВС отображается в натуральную величину, т. е. является плоскостью уровня.

Прямая // плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости. Дано: Δ (AВC) о. п. (. ) К______ К ϵ m // Δ Решение: m 2 1) D 2 C 2 -> D 1 C 1 DC ϵ Δ 2) K 2 ϵ m 2 // D 2 C 2 K 1 ϵ m 1 // D 1 C 1 m 1 m // DC => m // Δ

Прямая линия, пересекающая плоскость. (Основная позиционная задача) Задачи о взаимном расположении геометрических фигур. 1) Оба геометрических образа занимают проецирующее положение. Дано: Г (АВС) ┴ П 2 g ┴ П 1 K = g ∩ Г K ϵ g -> K 1 = g 1 K 1 -> K 2

2) Один из геометрических образов занимает общее положение, другой проецирующее а) прямая проецирующая, плоскость о. п. Дано: Г (а ∩ b) о. п. n ┴ П 2 K = n ∩ Г Определить видимость прямой K 2 ϵ с2 // а 2 ; с 2 ∩ b 2 = 1 2; 1 2 → 11 =˃ 1 ϵ b; с 1 // а 1 =˃ с // а с ϵ Г K 2 → К 1 Видимость определяем по конкурирующим точкам 21=31

б) плоскость проецирующая, прямая о. п. Дано: Г(1; 2; 3; 4) ┴ П 1 b – о. п. K= b ∩ Г Определить видимость прямой Решение: b 1 ∩ Г 1 = K 1 -> K 2 Видимость определяем по наглядности.

3) Оба геометрических образа занимают о. п. Дано: Г(ABC)- о. п. (DE) – о. п. K= (DE) ∩ Г Определить видимость прямой Алгоритм решения: 1. В плоскости Г(АВС) cтроят прямую фронтально (MN) или горизонтально конкурирующую с прямой (DE). 2. Находят точку пересечения прямой (DE) и построенной прямой (MN) принадлежащей плоскости Г(АВС). 3. Найденная (. ) и будет (. ) пересечения прямой (DE) с плоскостью. 4. Видимость прямой определяется по конкурирующим (. ) , на П 2 – по фронтально конкурирующим (. ) , на П 1 - по горизонтально конкурирующим (. ).

Прямая линия, перпендикулярная плоскости Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым принадлежащим этой плоскости. Дано: Г(АВС) о. п. m ┴ Г Алгоритм решения: 1) h ϵ Г f ϵ Г h ∩ f = К 2) Е 1 К 1 ┴ h 1 = > EK ┴ h Е 2 К 2 ┴ f 2 = > EK ┴ f = > EK ┴ Г

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ

1) Обе плоскости занимают частное положение Дано: Г (АВС) ┴ П 2 Δ (DEF) ┴ П 2 n = Г ∩ Δ n 2 (M 2 N 2 ) → n 1 (M 1 N 1 ) На основании собирательных свойств плоскостей

2) Обе плоскости занимают частное положение Дано: Г (ABC) ┴ П 1 Q (DFE) ┴ П 2 m = Г ∩ Q m 1 = Г 1 (A 1 B 1 C 1) m 2 = Q 2 (D 2 F 2 E 2 ) На основании собирательных свойств плоскостей

3) Одна плоскость общего положения, другая частного положения Дано: Г (ABC) ┴ о. п. Q (DFE) ┴ П 1 m = Г ∩ Q m 1 = Q 1 (D 1 F 1 E 1) 1 1 2 1 → 1 2 2 2 32 2 2 → 3 1 2 1 На основании собирательных свойств плоскостей

4) Обе плоскости занимают общее положение Решение задачи выполняется с помощью плоскостей посредников, в качестве пл. посредников берем пл. частного положения, пользуясь собирательными свойствами плоскостей. Дано: Г (ABC)– о. п. Q (DFE)– о. п. l = Г ∩ Q А. Р. 1) Ɣ (Ɣ 2 ) // П 1 Ɣ ∩ Г = 1; 2 Ɣ ∩ Q = 3; 4 1; 2 ∩ 3; 4 = К 2) Аналогично находим (. ) M КM = Г ∩ Q

Определение расстояния от (. ) до плоскости. 1) От (. ) до плоскости частного положения. Дано: 1(11; 12) Q (АВС) ┴ П 2 [1; Q] 12 22 = н. в. расстояния от точки 1 до плоскости Q (АВС)

2) Определение расстояния от (. ) до плоскости общего положения. 1) Для того, чтобы определить расстояние от (. ) до плоскости необходимо преобразовать плоскость о. п. в проецирующую. Для этого в заданной плоскости необходимо построить горизонталь или фронталь и взять новую плоскость П 4 ┴ этой прямой. 2) На новой плоскости П 4 определить расстояние от (. ) до заданной плоскости, а затем построить проекцию отрезка на П 1 , П 2 Дано: 1(11; 12) Q(АВС)о. п. Алгоритм решения: [ 1; Q] 1) h ϵ Q 2) П 1 / П 2 -> П 1 / П 4 ; П 4 ┴ h; х14 ┴ h 1 3) 14 24 ┴ А 4 В 4 С 4 4) 14 24 = [ 1; Q ]

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Г // Q

Если плоскость проходит через перпендикуляр к данной плоскости то она перпендикулярна данной плоскости. Г (ВС ∩ ЕС) Q (КА ∩ AD) ЕС – горизонталь пл. Г ВС – фронталь пл. Г АК ┴ h (ЕС) АК ┴ f ( ВС) =˃ АК ┴ Г =˃ Г ┴ Q

ПОВЕРХНОСТИ 1) Многогранные поверхности. Правильные и неправильные пирамиды и призмы. Задаются рядом точек и прямых. Многогранные поверхности ограничены в пространстве плоскостями. Основаны на точечном базисе. Φ (ABCS) Видимость ребер определяется по конкурирующим точкам. На П 1 - 21≡ 31; на П 2 - 42≡ 52 Точка на поверхности строится с помощью линии, принадлежащей этой поверхности. М 1 ϵ 11 S 1 М 2 ϵ 12 S 2 М 1 → М 2

Развертка многогранных поверхностей методом треугольников (триангуляции) 1) A 1 B 1 C 1 - н. в. 2) Натуральную величину ребер находим методом прямоугольных треугольников. АSB - н. в. ; BCS - н. в. ; CSA - н. в.

СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЯМИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. От пересечения гранной поверхности плоскостью частного положения получается замкнутая ломанная линия, вершины которой находятся на ребрах поверхности, т. е. вершины являются (. ) –ми пересечения ребер поверхности с плоскостью (прямых с плоскостью).

Дано: Ф(ABCS); Г ┴ П 2 Построить развертку Ф 1) С помощью метода вращения определяем н. в. ребер SA; SB; SC. 2) Г 2 ∩ Ф 2 = 122232 ; 122232 → 112131. 3) Методом триангуляции строим развертку Ф.

РАЗВЕРТКА ПРИЗМЫ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 1) П 1/П 2 → П 1/П 4 , Х 14 // С 1 F 1 2) Ɣ 4 ┴ A 4 D 4 (Ɣ - нормальное сечение призмы) 3) 11/ 21/ 31/ - н. в. – сечения призмы плоскостью Ɣ 4) A 4 D 4 ; В 4 Е 4 ; С 4 F 4 - н. в. ребер призмы 5) 10 20 30 10 – развертка в прямую линию Ɣ (11/ 21/ 31/ ) 6) A 0 D 0 ; В 0 Е 0 ; С 0 F 0 - н. в. ребер призмы ┴ 10 20 30 10

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПРЯМОЙ Задачи на определение точек пересечения прямой линии с многогранником решают в соответствии с алгоритмом построения точки пересечения прямой с плоскостью. Алгоритм решения: 1) заключаем заданную прямую в ту или иную плоскость; 2) находим линию пересечения вспомогательной плоскости (посредника) с поверхностью; 3) определяем точки пересечения линии сечения с данной прямой (они будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью тела).

Кривые поверхности делятся на линейчатые и нелинейчатые, т. е. криволинейные. Линейчатые поверхности - у которых образующая прямая. Поверхности вращения – образуются вращением образующей вокруг оси. 1) 2) 3) 4) Цилиндрические : i // L (образующая); Конические : L ∩ i; Однополосный гиперболоид : L ÷ i ; Особое место среди поверхностей вращения занимают сферические поверхности (шар, открытый тор (кольцо), закрытый тор, эллипсоид вращения, гиперболоид вращения, параболоид вращения). Эти поверхности называются алгебраическими поверхностями, т. к. их можно задать формулой. Эти поверхности задаются проекциями – очерками.

а) цилиндр i // L б) конус L ∩ i в) однополостный гиперболоид вращения L ÷ i

Тор Сфера

Любая точка на поверхности вращения вращаясь вокруг оси описывает окружность (параллель). Параллель самого малого радиуса– горло. Параллель самого большого радиуса – экватор Плоскость проходящая через ось поверхности вращения называется меридиональной плоскостью. Главная меридиональная плоскость – это плоскость проходящая через ось вращения и параллельная одной из плоскостей проекций. Г // П 2 – главная меридиональная плоскость.

Главная меридиональная плоскость пересекает поверхность вращения по линии, которая называется главным меридианом. Главный меридиан будет виден в виде прямой на той плоскости проекций к которой его ось будет ┴. Точка на поверхности вращения находится с помощью параллели. Совокупность всех условий, задающих поверхность называются определителем поверхности (алгебраическим и геометрическим). Ф(i; l)

Очерк поверхности Для придания чертежу поверхности большей наглядности прибегают к построению очерков ее проекций или проекций достаточно плотного каркаса ее образующих (в случаях, когда проекции поверхности не имеют определенного очерка) на основании алгоритмической части ее определителя. Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура. Линия видимого контура поверхности разделяет ее на части- видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ Поверхность считается заданной, если однозначно решен вопрос о принадлежности точки этой поверхности. Все точки, расположенные над экватором на горизонтальной проекции видимы и наоборот. Все точки, расположенные перед главным меридианом на фронтальной плоскости проекций видимы, за главным меридианом – невидимы.

Если плоскость пересекает сферу: Ф∩Δ = l (окружность) Ф∩Г = n (прямая) Ф∩Q= m (эллипс)

Дан пример пересечение сферы прямой, которая является горизонтальной прямой уровня. Задача выполняется без преобразования чертежа. Во втором примере, прямая, пересекающая сферу занимает общее положение. Данную задачу целесообразно решать, применяя способ замены.

Шестигранная призма и прямой круговой цилиндр пересекаются фронтально-проецирующей плоскостью

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ

Если плоскость пересекает коническую поверхность: Ф∩Г = n (треугольник) Ф∩Δ = l (окружность) Ф∩Q= m (эллипс) Ф∩G = c (парабола) Ф∩β= d (гипербола)

Определите, на каком рисунке в результате пересечения конуса плоскостью получили гиперболу, а на каком - параболу?

Найти точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса. Проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость ABS, проходящую через вершину конуса. Найдем горизонтальные следы прямых SA и SB. Точки M и N определят плоскость, пересекающуюся с конусом. Точки K 1 и K 2 пересечения этих образующих с прямой АВ являются искомыми точками. Горизонтальный след вспомогательной плоскости мог не пересечься с основанием конуса или только прикоснуться к нему. В этом случае прямая АВ не пересеклась бы с поверхностью конуса или только прикоснулась бы к нему.

Если плоскость пересекает цилиндрическую поверхность: Ф∩Т= n (прямоугольник) Ф∩Q= l (окружность) Ф∩P= m (эллипс)

Пересечение прямой с поверхностью Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью любого тела (цилиндр, конус, шар и т. д. ), поступают точно также, как и при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью, а именно: заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость; находят линию (кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью; на пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЗАИМНОЕ

Способ вспомогательных секущих сфер Этот способ применяется только в тех случаях, когда тела имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно какой-либо плоскости проекций, в этом случае оси поверхностей будут пересекаться. Если сфера имеет центр на оси заданной поверхности вращения и пересекает эту поверхность, то линия пересечения будет окружностью. Если к тому же ось вращения заданной поверхности параллельна одной из плоскостей проекций , то указанная окружность проецируется на эту плоскость в отрезок прямой, перпендикулярной проекции оси вращения на ту же плоскость.

Виды-основные дополнительные местные Видом называется изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета Основными называют виды, полученные проецированием предмета на шесть основных плоскостей проекций.

Размещение основных видов Основные виды, расположенные в проекционной связи не надписываются

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ Для изображения дорог, генпланов и других объектов применяется специальный способ изображения − метод с числовыми отметками. Чертежи в проекциях с числовыми отметками построены на одной плоскости проекций – на одной картине (плоскости проекций) и часто называются однокартинными.

На плоскость П 0 ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости П 0. Это расстояние называют числовой отметкой точки и задают обычно в метрах. Числовую отметку точки пишут внизу справа от обозначения ее изображения. Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом. На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света. Очень удобно в проекциях с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых имеют одинаковые отметки.

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ ИНТЕРВАЛ И УКЛОН ПРЯМОЙ Длина проекции отрезка прямой называется его заложением и обозначается буквой L. Разность расстояний концов отрезка до плоскости П 0 называется превышением и обозначается буквой Н. Отношение превышения к заложению называется уклоном и обозначается буквой i (i=H/L=tga). Если превышение равно единице (Н=1), то соответствующее ему заложение называется интервалом и обозначается буквой l (i=1/l). Таким образом, уклон и интервал прямой − величины, обратные другу

Для удобства определения характера топографической поверхности и отдельных форм рельефа пользуются бергштрихами, которые проставляют перпендикулярно горизонтали и направляют от нее в сторону спуска поверхности. Горизонтали, кратные пяти числовым отметкам, для удобства чтения чертежа выделяют более толстой линией.

Различают следующие основные формы рельефа местности: возвышение (гора или холм), впадина (котловина или яма), хребет, лощина, седловина или перевал и равнина.

Поверхность равного уклона Поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с горизонтальной плоскостью постоянный угол, называется поверхностью равного уклона. Такая поверхность может быть образована движением прямого кругового конуса с вертикальной осью вдоль некоторой направляющей кривой. При этом уклон конуса остается постоянным, а размеры могут меняться. Поверхности откосов, насыпей и выемок на криволинейных участках дорог являются поверхностями равного уклона

Теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке (французский военный инженер – капитан Нуазе, 1823 г. ).

ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ При оформлении чертежей фасадов зданий или других архитектурных сооружений возникает необходимость придать изображаемому объекту объемность, рельефность форм, подчеркнуть соотношение пропорций отдельных частей, т. е. придать чертежу наглядность, выразительность. С этой целью на чертежах наносят контуры теней, т. е. границы между освещенными и неосвещенными поверхностями предмета. Все предметы в действительности освещены лучами солнца или любым источником света. Световые лучи, распространяясь прямолинейно, падают на поверхность предмета и освещают ее. Те части поверхности предмета, на которые не падают лучи света, находятся в тени. Различают собственные и падающие тени. Собственной тенью 1 называют неосвещенную часть поверхности самого предмета. Падающей называют тень 2, отбрасываемую предметом на плоскость или на другую поверхность. Контуром собственной тени называется граница 3 между освещенной и неосвещенной поверхностью предмета

ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ

ПОСТРОЕНИЕ ТЕНИ ОТ ТОЧКИ

показано построение проекций падающей тени от точки Е на плоскость общего положения, заданную четырехугольником АВСД. Аналогично строится тень от точки на любую поверхность.

ПОСТРОЕНИЕ ТЕНИ ОТ ПРЯМОЙ

Если прямая параллельна плоскости проекций, на которую падает тень, то тень на эту плоскость будет параллельна заданной прямой и равна ей по величине. Если прямая СД перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П 1, то ее тень на горизонтальной плоскости проекций Д 1 т. Ет совпадает с горизонтальной проекцией светового луча, а на фронтальной Ет. С 2 т– параллельна самой прямой.

Построение теней в аксонометрии. Тень от точки. Основные правила построения теней, изложены в методе ортогонального проецирования, остаются в силе и при построении теней в аксонометрических проекциях. Направление лучей света может быть выбрано произвольно, но с соблюдением условий правдоподобности. Лучи не должны быть слишком пологими или слишком крутыми, лучшим углом наклона луча света к горизонту можно считать 30… 400. Так же направление лучей может быть взято параллельно диагонали куба, построенного на аксонометрических осях x, y, z. При выборе направления лучей света задается первичная и вторичная проекции луча.

Построение теней в аксонометрии. Тень от точки. Если тень от точки А´ будет падать на наклонную плоскость (рисунок 11. 37), например на плоскость α, то тень найдется в результате построения точки пересечения луча S с плоскостью α. Для этого следует: заключить луч S в горизонтально – проецирующую плоскость β (S‹β); найти линию пересечения МN плоскостей α и β, тогда точки пересечения луча S с линией пересечения МN даст тень от точки А на плоскость α.

Тень от отрезка прямой линии. Рассмотрим построение тени прямой общего положения АВ

Тени от геометрических тел.