Плоскость Лекция 6 1 Определение плоскости Рассмотрим

Плоскость Лекция 6 1

Определение плоскости Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость. Задать плоскость - задать вектор, перпендикулярный этой плоскости, и задать фиксированную точку M 0(x 0, y 0, z 0), лежащую в этой плоскости. p Определение Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки Плоскость —поверхность первого порядка в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени 2

p Впервые термин плоскость встречается у А. К. Клеро (1731). Алекси Клод Клеро Габриель Ламе p Уравнение плоскости в отрезках впервые встречается у Г. Ламе (1816— 1818). p Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе Людвиг Отто Гессе 3

Общее уравнение плоскости p общее уравнение плоскости Уравнение вида где - нормальный вектор плоскости Для того, чтобы произвольная точка принадлежала плоскости, нормальный вектор плоскости может быть взят любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости необходимо и достаточно, чтобы т. е -уравнение называется -векторным уравнением плоскости 4

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному векторное уравнение плоскости Заменим скалярное произведение через координаты сомножителей, а именно уравнение называют - уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору n = {A, B, C} 5

Пример Дано: точка на плоскости P(2, 6, − 3), вектор нормали N(9, 5, 2). Записать уравнение плоскости Решение p Уравнение плоскости записывается так: p p 9(x − 2) + 5(y − 6) + 2(z + 3) = 0 − 18 + 9 x − 30 + 5 y + 6 + 2 z = 0 9 x + 5 y + 2 z − 42 = 0 6

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки p Пусть известны три точки принадлежащие плоскости и не лежащие на одной прямой. Возьмем текущую точку . Эти векторы лежат в одной плоскости, уравнение которой и определяется. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю, то есть уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 7

Уравнение плоскости в отрезках p Пусть в общем уравнении плоскости тогда получим уравнение плоскости в отрезках имеют простой геометрический смысл числа - абсцисса точки пересечения плоскости с осью - ордината точки пересечения плоскости с осью - аппликата точки пересечения плоскости с осью 8

Исследование общего уравнения плоскости p Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным Пусть дано общее уравнение плоскости плоскость параллельна оси OX плоскость параллельна оси OY плоскость параллельна оси OZ q. Замечание Если плоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью 9

Исследование общего уравнения плоскости плоскость проходит через начало координат. плоскость параллельна плоскости OXY плоскость параллельна плоскости OYZ плоскость параллельна плоскости XOZ плоскость проходит через координатную ось OZ плоскость проходит через координатную ось OY плоскость проходит через координатную ось OX 10

Исследование общего уравнения плоскости Плоскость XOY Плоскость YOZ Плоскость XOZ Пример Найти уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки Решение По условию уравнение плоскости имеет вид (*)плоскость параллельна оси OZ Подставим координаты заданных точек и получим подставляя в (*), получаем 11

Исследование общего уравнения плоскости 12

13

В ы в о д ы: p 1. Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат. p 2. Если в уравнении плоскости отсутствует одна координата, то плоскость параллельна оси отсутствующей координаты. p 3. Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна координатной плоскости отсутствующей координаты. p 4. Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты и свободный член, то это есть координатная плоскость отсутствующей координаты. 14

Пример Построить плоскость: 4 x + z - 8 = 0; p Решение Плоскость 4 x + z - 8 = 0 параллельна оси ОУ p Построить плоскость: z - 5 = 0 Решение Данная плоскость параллельна плоскости XOY 15

Нормальное уравнение плоскости p Дана плоскость, проведем через начало координат нормаль, точка – точка, в которой прямая пересекает плоскость. нормальное уравнение плоскости углы, образованные перпендикуляром p с осями координат соответственно знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку D Углы это углы между вектором нормали - и осями координат соответственно. p- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 16

p Замечание В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна 1, а свободный член должен быть отрицателен Умножим общее уравнение на множитель Возведем первые три уравнения в квадрат и сложим нормирующий множитель знак выбирается противоположен знаку свободного члена. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду обе час его умножают на нормирующий множитель, знак выбирают. Если 17 знак выбирается произвольно.

p Чтобы найти отклонение какой-либо точки от некоторой прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки. Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле Пример Дана плоскость и точка Решение Найти отклонение точки от плоскости точка удалена от плоскости на расстояние 2. 18

Расстояние между параллельными плоскостями p Пусть параллельные плоскости заданы уравнениями • Тогда расстояние между параллельными плоскостями можно найти по формуле : Пучок плоскостей — уравнение любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю. 19

Взаимное расположение двух плоскостей(угол между плоскостями) p p Линейный угол- угол между перпендикулярами к этим плоскостям. Для двух плоскостей, заданных уравнениями направления перпендикуляров к ним совпадают с направлениями векторов Определение Углом между плоскостями называется угол между их нормальными векторами и или 20

Условие параллельности двух плоскостей p Пусть даны две плоскости Данные плоскости параллельны, когда их нормальные векторы коллинеарны , Условие параллельности двух плоскостей 21

Условие перпендикулярности двух плоскостей Данные плоскости перпендикулярны, когда их нормальные векторы перпендикулярны , Условие перпендикулярности двух плоскостей 22

Прямая линия в пространстве p p Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две плоскости пересекаясь, определяют прямую в пространстве. p Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой. p Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям. 23

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей p Пусть уравнения плоскостей P 1 и P 2 заданы, тогда система уравнений определяет прямую линию как линию пересечения двух плоскостей Прямая линия будет полностью определена, если на ней и вектор зафиксировать точку параллельный этой прямой. называется направляющим вектором прямой. Определение Каждый, не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой 24

Направляющий вектор прямой заданной как пересечение плоскостей Общие уравнения прямой в координатной форме: p Направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям 25

Параметрическое уравнение прямой Пусть - радиус-вектор начальной точки - радиус-вектор текущей точки , где Векторно параметричое уравнение прямой. - некоторое число, называемое параметром. то можно перейти к уравнению в координатном виде параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора Изменяя значения можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой , 26

Каноническое уравнение прямой p Преобразуем параметрические уравнения к следующему виду Уравнения называются каноническими уравнениями прямой. канонические уравнения – Прямая, проходящая через точку M 0(x 0 y 0, z 0), параллельно вектору a = (l, m, n), 27

Переход от общих уравнений прямой к каноническим p p Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, нужно найти какую-либо точку M 1(x 1, y 1, z 1) на прямой. Пусть прямая L задана общим уравнением Координаты точки M 1(x 1, y 1, z 1) находятся как решение системы уравнения, задав одной из координат произвольное значение. За направляющий вектор - вектор произведения нормальных векторов 28

Уравнение прямой задано в общем виде Пример записать уравнение прямой в каноническом виде Решение p Для записи уравнений нужно знать координаты какой-либо точки на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора прямой. Находим координаты точки. Для этого одну из координат задаем произвольно p Для вычисления координат берем, например канонический вид 29

Пример p Даны канонические уравнения прямой Необходимо перейти к общим уравнениям Решение Записываем данные уравнения в виде системы 30

Взаимное расположение прямых в пространстве p Угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами, т. е Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов: Условие параллельности двух прямых – это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов: 31

p p Замечание Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси OX. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен этой оси параметрические уравнения прямой примут вид и . если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси. прямая перпендикулярная осям или параллельная оси 32

Пример p Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору Решение Канонические уравнения Параметрические уравнения 33

Взаимное положение прямой и плоскости (угол между прямой и плоскостью) p Пусть плоскость (Р) задана уравнением а прямая L - каноническими уравнениями Определение Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на пло. Тогда угол между прямой и плоскостью не превышает 34

Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости -условие параллельности прямой и плоскости условие перпендикулярности прямой и плоскости Пример Написать перпендикулярно плоскости, каноническое уравнение содержащей точки прямой, проходящей через точку. каноническое уравнение прямой 35