Плоский ротатор Семинар 6
z r=L/2 =const ( «жесткий» ) r φ Плоскость вращения ( «плоский» ) угол поворота (единственная координата) жесткий плоский ротатор Две противоположные стенки ямы "склеены" друг с другом таким образом, что одномерная яма с длиной L превращается в яму в виде вертикального цилиндра с радиусом r = L/2.
Классическое описание (t) = • t — угловая скорость (частота вращения), выраженная в радианах/сек Кинетическая энергия Е = mv 2/2 = m 2 r 2/2 = L 2/2 I L = r • mv называется механическим моментом (моментом импульса, моментом количества движения) ротатора (аналог импульса) I = mr 2 — момент инерции (аналог массы). необходимо различать две наблюдаемые: |L| — модуль и Lz — проекцию. |L| = L и Lz = ± L , E, L, I – постоянные! – любое состояние стационарно! Если частица электрически заряжена – постоянная потеря энергии – стационарных состояний нет!
Квантовомеханическое описание Состояния ротатора должны описываться волновыми функциями Ф, зависящими только от одной пространственной переменной — угла . Ф( , t) = Ф( ) • eхр[i(E/h)t] Стационарные состояния Пространственная часть волновой функции должна подчиняться стационарному уравнению Шредингера: НФ( ) = ЕФ( ). решение Ф( ) = Ае im + Be –im , где m = L/h
Как и в случае с потенциальным ящиком, в данном случае имеются определенные граничные условия: волновая функция должна в точности повторяться через каждое приращение аргумента (угла ) на величину 2 : Ф( ) = Ф( + 2 ). Построим две функции для разных аргументов: Ф( ) = Ae im + Be –im Ф( + 2 ) = Aeim( + 2 ) + Be–im( + 2 ) = Aeim 2 + Be–im 2 Требуемое равенство этих двух функций будет наблюдаться при условии: e im 2 = e–im 2 = 1 Комплексная экспонента равна 1 только тогда, когда ее фаза кратна 2 : m • 2 = k • 2 , где k — любое целое число.
Константа m может иметь только целочисленные значения: m = 0, 1, 2, 3. . . , вследствие чего m называется вращательным квантовым числом. Следовательно, учет граничных условий приводит к выделению некоторых разрешенных значений момента и энергии: энергетические уровни плоского ротатора являются двукратно вырожденными |L| = mh = 0, h , 2 h , 3 h. . . Lz = ± mh = 0, ±h , ± 2 h , ± 3 h. . . E = L 2/2 I = b • m 2 = 0, b, 4 b, 9 b. . (здесь b = h 2/2 I — вращательная постоянная)
Обратимся к рассмотрению волновых функций. Общее решение является суперпозицией двух частных решений: Ф( ) = Ае im + Be–im , где m = L/h для заданных значений наблюдаемых Е и L существует целое двумерное пространство стационарных состояний Один из базисов: Ф+( ) = С+ е im Ф– ( ) = С– е–im ( A = 1, B = 0 ) ( A = 0, B = 1 ) Константы С+ и С– нужны для нормировки волновых функций (в данном случае они одинаковы и равны числу (1/2 )1/2. В этих двух состояниях является строго определенным направление вращения частицы, а, следовательно, и ориентация вектора L, но совершенно неопределенна координата частицы!
Существуют, однако, некоторые суперпозиционные состояния, в которых пространственное положение частицы на окружности более определённо. B= A B = –A и и Ф'( ) = А (е im + e–im ) , Ф''( ) = А (е im – e–im ). Применив тригонометрическое представление комплексных экспонент, найдем, что обе эти функции действительные: Ф'( ) = 2 А cos (m ) и Ф'' ( ) = 2 А sin (m ) Для таких стационарных состояний вероятность найти частицу в некоторой определенной точке окружности уже будет зависеть от положения этой точки: P' ( ) = (1/2 ) cos 2 (m ) P'' ( ) = (1/2 ) sin 2 (m ) Частица "размазана" по окружности не совсем равномерно, а образует в некоторых областях более плотное облако, а в некоторых — менее плотное.
Смысл квантования, проявляющегося в данном случае, сводится к тому, чтобы на окружности помещалось целое число полуволн стоячая волна Полярные диаграммы Пунктирными прямыми линиями обозначены узловые плоскости.
Сферический ротатор ( , ) = ( ) • ( ) Существенное отличие сферического ротатора заключается в необходимости введения уже двух квантовых чисел: — орбитальное квантовое число ( = 0, 1, 2. . ) m — магнитное квантовое число (m = 0, 1, 2. . . l) При заданном значении числа магнитное число m может принимать только значения, не превосходящие по модулю число (всего 2 +1 значение). Допустимые значения наблюдаемых задаются формулами: | L |2 = h 2[ ( + 1)] , где = 0, 1, 2 , . . Е = | L |2 / 2 I = (h 2/2 I) [ ( + 1)] = b [ ( + 1)]
Отличие! вектор L уже не обязан совпадать с осью вращения, и проекция этого вектора отличается от самого вектора. Дополнительное квантовое число m как раз и предназначено для определения величины проекции: Lz = m h сферический ротатор имеет дискретный набор стационарных состояний, расположенных на расходящейся системе энергетических уровней, однако степень вырождения каждого такого уровня иная, чем в случае плоского ротатора.
Каждому уровню энергии соответствует целое подпространство стационарных состояний размерности 2 + 1. У всех этих состояний модуль вектора L строго определен, но ориентация этого вектора является неопределенной.
Для каждого подпространства можно найти и другой базис, где определена локализация частицы ротатора на поверхности сферы.
Сферический нежесткий ротатор В этой модели расстояние от частицы до центра вращения может изменяться, и в результате появляется еще одна степень свободы и еще одно квантовое число n (главное квантовое число). Конечный результат хорошо известен из теории одноэлектронного атома. Ансамбль ротаторов В случае, когда ротатор способен взаимодействовать с окружающей средой (термостатом), он уже не остается навсегда в одном из стационарных состояний, а пробегает все доступные ему стационарные состояния с вероятностями, определяемыми значениями энергии (в соответствии с функцией Больцмана).
Существенная особенность ротатора заключается в наличии вырождения энергетических уровней (особенно для сферического и нежесткого ротаторов). Это может привести к тому, что максимальная вероятность может приходиться не на самый низший уровень энергии, а на некоторый возбужденный. Так, например, для вращений молекул при комнатной температуре максимально заселенными являются уровни с вращательными числами = 5 - 8.