ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ Проекция силы на ось Определение

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ Проекция силы на ось. Определение равнодействующей Проекцией силы на ось называют скалярную величину, равную длине отрезка этой оси, заключенного между проекциями начала и конца вектора силы. Проекцию считают положительной, если перемещение от ее начала к концу происходит в направлении оси. B Y м A FX, Н i O j a b X, м Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. 1

Пример 1 Y Дано: F 1 =2 к. Н, F 2=1 к. Н, F 3=4 к. Н, А(8, 2), В(-3, 5), С(6, -1), α=30⁰ Найти равнодействующую F 1 F 2 B A O RX R RY X C F 3 1, Проекции равнодействующей: RX= ─F 1 cosα + F 2=─ 0, 73 к. Н RY= F 1 sinα ─ F 3= ─ 3 к. Н R= √

Разложение силы на составляющие Во многих случаях целесообразно представить силу в виде трех, а для плоской системы – двух составляющих: XA=F∙cosα Y, м y. A O YA=F∙slnα YА A XА x. A X, м 3

Момент силы относительно точки на плоскости алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на плечо, взятая со знаком +, если вращение плоскости под действием силы происходит против часовой стрелки, и со знаком – в противном случае. Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из A точки на линию действия силы. Y, м y. A O YА Момент равнодействующей относительно центра равен алгебраической сумме моментов её составляющих относительно того же центра. A XА x. A MО= ─XA∙y. A+YA∙x. A X, м здесь XA, YA ─ координаты точки, приложения силы. 4

Пример 2 Y Дано: F 1 =2 к. Н, F 2=1 к. Н, F 3=4 к. Н, А(8, 2), В(-3, 5), С(6, -1), α=30⁰ F 1 F 2 F 1 Y B F 1 X MO A X O C Найти : сумму моментов относительно т. О 1. Составляющие F 1 X= F 1 cos α, F 1 Y= F 1 sin α 2. Сумма моментов относительно т. О F 3 Ответ: MO= ─17, 64 MO= F 1 X∙ 2 + F 1 Y ∙ 8 – F 2 ∙ 5 – F 3 ∙ 6

Приведение плоской произвольной системы сил к заданному центру F 1 М 1 Y R М 2 A М F 2 Выберем произвольную точку т. А на плоскости и каждую из сил переносим в эту точку, добавляя пары сил, моменты которых равны моментам данной силы относительно точки т. А. Вместо исходной произвольной системы получим сходящуюся систему сил и систему пар. X O Т. о. всякая плоская система сил приведении к произвольно взятому центру, заменяется к одной силой, называемой главным вектором, и к паре с моментом, равным главному моменту всех сил системы относительно центра приведения. главный вектор главный момент

Пример 3. Груз весом 1 к. Н подвешен на кронштейне АВС Определить опорные реакции и усилия в стержнях 1. Мысленно освобождаемся от связей в т. А, С и заменяем их реакциями RA, RB, которые направлены вдоль стержней 1, 2 (рис. 1) Y RA А 2. Записываем уравнения равновесия для сходящейся системы сил. Согласно (1) для плоской системы: 1 В RC С X F 2 Рис. 1 Y N 1 В N 2 Рис. 2 F 3. Решая уравнения, определяем реакции связей: 4. Методом вырезания узлов определим X внутренние усилия в стержнях (рис. 2): N 1=RA , N 2=RC Ответ: N 1= RA=2 к Н, N 2=RС= -1, 73 к. Н. Стержень 1 растянут (N 1 > 0 ), ст. 2 – сжат (N 2 < 0). 7

Расчет фермы методом вырезания узлов Порядок расчета: 1. Выбираем в качестве объекта равновесия ферму в целом и определяем опорные реакции: 2. Нумеруем или обозначаем буквами узлы и стержни. 3. Выбираем последовательность вырезания узлов таким образом, чтобы число неизвестных усилий было не более двух. Вырезаем первый узел. Действие отброшенных частей заменим осевыми силами Ni, направленными от узлов, считая стержни растянутыми 4. Составляем уравнения равновесия для первого узла и определяем внутренние усилия. Положительное значение означает что данный стержень растянут, а отрицательное – сжат. . 5. Последовательно вырезаем узлы фермы и определяем внутренние силовые факторы 8

Рассмотрим ферму, (рис. 1). АВ= BC= DB=AD= 1 , силы Р=1 к. Н, F=0, 5 к. Н. Пример решения. 1. Обозначим узлы и стержни. Мысленно освобождаемся от связей в т. А и В, а их воздействие заменяем реакциями XA, YA, RВ. 9

2. Запишем три условия равновесия: D Y YA 1 2 P 5 XA 30⁰ 3 А 4 B RB Рис. 1 А Y N 1 XA Y A 1 А 5 N 5 X C F X Решая систему уравнений, находим неизвестные реакции Определение усилий в стержнях 1. Отрежем узел А от остальной фермы (рис. 2) Действие отброшенных частей заменим осевыми силами N 1, N 5 2. Запишем два условия равновесия для сходящейся системы сил и определим N 1, N 5 Рис. 2 10

Последовательно вырезаем узлы фермы и определяем внутренние силовые факторы Y Y YA YA XA D N′ D X 1 N 1 1 N′ 5 5 N′ 2 2 B N 5 А А N 4 4 XNB 4 C Y P N 2 P 30⁰ C FFX RBN 3 3 N 3 RB Узел В X Узел С Рис. 2 Узел D 11

D Y YA 1 2 P 5 XA 30⁰ 3 А 4 B C F X RB Реакции (к. Н) Усилия в стержнях (к. Н) XA YA RD 1 2 3 4 5 - 0, 5 -1, 0 2, 0 1, 155 2 -1, 23 -0, 077 -2, 31

2. Запишем три условия равновесия: P F C P 2 D Y YA 6 1 XA А 5 Рис. 1 А Y N 1 XA Y A 1 А 5 N 5 X 3 7 E RB 4 B X Решая систему уравнений, находим неизвестные реакции Определение усилий в стержнях 1. Отрежем узел А от остальной фермы (рис. 2) Действие отброшенных частей заменим осевыми силами N 1, N 5 2. Запишем два условия равновесия для сходящейся системы сил и определим N 1, N 5 Рис. 2 13

1. Отрежем узел В от остальной фермы (рис. 3) Действие отброшенных частей заменим осевыми силами N 3 , N 4 B Y N 3 RB 3 N 4 2. Запишем два условия равновесия и определим N 3, N 4 B 4 X Рис. 3 1. Отрежем узел С от остальной фермы (рис. 4) Действие отброшенных частей заменим осевыми силами N 3, N 4 C Y F N 1 P 1 C 2 2. Запишем два условия равновесия и определим N 2, N 6 N 2 6 X N 6 Рис. 4 14

D Из условий равновесия узла D (рис. 5) определим Y N 7 P 2 D N 2 3 7 X N 3 N 7 Рис. 5 E N 6 N 5 Y N 7 X E Рис. 6 Для проверки используем уравнения равновесия узла Е (рис. 6) N 4 Ответы приведены в таблице 15

P F Y XA Y A C 2 5 сжатие D 6 1 А P 7 E растяжение 3 RB B 4 Реакции (к. Н) Усилия в стержнях (к. Н) XA YA RD 1 2 3 4 5 6 7 -10 15, 67 24, 33 -18, 09 -16, 55 -28, 09 14, 05 19, 05 -5 5 16

Статика С 1 У Дано: АВ=3 м; ВС=1 м; СЕ=0, 5 м; Р=10 к. Н; F= 4 к. Н; Пример 2. 1 Y MA Р YA Е F Определить опорные реакции РX XA А В С =60 о X Решение: 1. Мысленно освобождаемся от связей в т. А и их воздействие заменяем реакциями XA, YA, MA 2. Сосредоточенную силу Р разложим на две составляющие PX , PY : 3. Запишем три условия равновесия: РY Р′ 4. Проверка: Ответ: XA=-1 к. Н, YA=8, (6)к. Н, MA= ─24 к. Н м.

Статика С 1 У Пример 2. 2 Дано: АВ=2 м; ВС=1 м; СЕ=4 м; Р=4 к. Н; М=3 к. Н м; q =2 к. Н/м YA MA XA А В q Р С Определить опорные реакции Q М Е Решение: 1. Мысленно освобождаемся от связей в т. А и их воздействие заменяем реакциями XA, YA, MA 2. Распределенную нагрузку заменим равнодействующей Q, приложенной в средине участка СЕ: Q=q. CE 3. Запишем три условия равновесия: 4. Проверка: Ответ: XA= 0, YA= 4 к. Н, MA=─35 к. Н м.

Статика С 1 У Дано: АВ=2 м; ВС=1 м; СD=3 м; DE=2 м; Р=4 к. Н; F=1 к. Н; q =1 к. Н/м Пример 2. 3 Y YA XA А В q Р Q С RD Определить опорные реакции Решение: 1. Мысленно освобождаемся от связей в т. А и D, а D Е X их воздействие заменяем реакциями XA, YA, RD F 2. Распределенную нагрузку заменим равнодействующей Q, приложенной в средине участка BD: 3. Запишем три условия равновесия: 4. Проверка: Ответ: XA=0, YA=-1 к. Н, RD=2 к. Н. Q=q. BD