Площади фигур Происхождение науки геометрии Для

Площади фигур

Происхождение науки геометрии. Для чего нужно было измерять площади? Людям часто приходилось делить землю по берегам Нила на участки. Подсчитывать площадь трудно, берега извилисты, границы участка неровные. И люди постепенно научились измерять такие площади, разбивая их на прямоугольные и треугольные участки (17 век до н. э. )

Свойства площадей - Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. - Эта площадь – единственная. - Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом.

Свойства площадей n М F Равные фигуры имеют равные площади. Если F = М, то SF = SM

Свойства площадей n K С В М Е А Если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. SACME = SABE + SBCKE + SEKM

Свойства площадей B C A D a Площадь квадрата равна квадрату его стороны. SABCD = a 2

n n Если многоугольники имеют равные площади, но они не равные, то их называют равновеликими. на рисунке равновеликие четырёхугольники, площадь которых 12 кв. ед. изм. :

Измерение площадей 1. С помощью палетки: считаем сначала количество целых квадратов, затем их частей, которые дают целый квадрат: 8 + 1 + 1 = 12

Площадь прямоугольника Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. a b Дано: а, b –стороны прямоугольника. Доказать: S = a b. Доказательство: S a 2 a Достроим прямоугольник до квадрата cо стороной ( а + b ). Его площадь равна ( а + b )2 или S b 2 b S + a 2 + S + b 2 Получим: (a + b)2 = S + a 2 + S + b 2 a b n a b a 2 + 2 ab + b 2 = 2 S + a 2 + b 2 S = a b 2 S = 2 a b

Площадь параллелограмма n n Необходимо определить, что такое высота параллелограмма. Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин. n Высота BE, проведённая между длинными сторонами, короче высоты BF, проведённой между короткими сторонами. В E С n А n F D

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону SABCК в С = SABCD+ SDKC=SBCKH + SAHB 1 А 2 H Д K Обратим внимание на треугольники ДКС и АНВ. АВ=СД (противоположные стороны параллелограмма) 1 = 2 (соответственные углы ) Следовательно ΔДКС = ΔАНВ, значит SDKC = SAHB. SABCD + SDKC = SBCKH + SAHB

в С SABCD+ SDKC=SBCKH + SAHB 1 А 2 Д H K Из последнего равенства: SABCD = SBCKH = ВС · ВН = АД · ВН АД основание параллелограмма, а ВН высота. Следовательно площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

АС- основание ВН- высота; В Н 1 АН 1 - высота АВ - основание СК - высота К А ВС- основание Н С 14

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. С А Н D В Дано: АВС; СН- высота; АВ- основание. Док-ть: S= ½ АВ∙ СН. Док-во: АВС= DСВ (по трем сторонам (СВ- общая, АВ= СД, АС= ВД )) SАВС =SDСВ SАВС= ½ SАBCD, т. е. S = ½ АВ ∙СН. Теорема доказана.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В А С ВС- гипотенуза; АВ и АС- катеты. АВС- прямоугольный; SАВС= ½ АВ∙ АС.

Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. В С S Н В 1 ВН= В 1 Н 1 S/S 1= АС/А 1 С 1 А А 1 S 1 Н 1 С 1 1 7

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. С А С 1 S В S 1 А 1 С 1 В 1 Н 1 С А(А 1) Н В 1 В Дано: АВС и Доказать: А 1 В 1 С 1; <А= < А 1. Доказательство: Наложим А 1 В 1 С 1 на АВС, АВС и АВ 1 С имеют общую высоту СН, Треугольники АВ 1 С 1 имеют общую высоту – В 1 Н 1 перемножая равенства, получаем:

Площадь трапеции n Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ n . SABCD=SABD+SDBC SABCD=(AD⋅BE)/2+(BC⋅DF)/2= = (AD⋅BE)/2+(BC⋅BE)/2 = n Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через a и b, высоту через h, то: Sтрап=

Реши задачу n 1. Найти площадь прямоугольника, у которого смежные стороны равны 3, 5 см и 8 см. 28 м 2

Найти площадь фигуры В С 3 2 Е D 3 2 А F

Реши задачу

Реши задачу

Реши задачу

Домашнее задание n П. 49 -54 - теоремы и свойства с доказательством