Площади фигур Площадь геометрической фигуры числовая

Площади фигур.

Площадь геометрической фигуры — числовая характеристика фигуры – величина той части плоскости, которую занимает фигура За единицу измерения принимают квадрат со стороной равной единице измерения отрезков (1 см 2, 1 дм 2=100 см 2 1 м 2=100 дм 2 1 а=100 м 2 1 га=100 а 1 км 2=100 га) В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Найдите площади следующих фигур: A. B. C. D. E. F. J. H.

Основные свойства площадей геометрических фигур. 1. Любая плоская ограниченная геометрическая фигура имеет площадь S. 2. Эта площадь – единственная. 3. Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. S>0 4. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице. 1 1 5. Площадь фигуры равна сумме площадей частей, на которые она разбивается. S=SF 1+SF 2+SF 3 F 1 6. Равные фигуры имеют равные площади. F 2 F 1 SF 1=SF 2 Sкв. =1 F 3

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. S=a 2 a a Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. a b b S S 2=b 2 S 1=a 2 S a a b S=a·b b (a+b)2 =S 1+S 2+2 S=a 2+b 2+2 S; 2 S= (a+b)2 -a 2 -b 2=2 ab; a S=a·b

Следствия: 1) При увеличении (уменьшении) стороны прямоугольника в n раз площадь прямоугольника увеличивается (уменьшается) в n раз и наоборот. 2) При увеличении (уменьшении) стороны в n раз площадь квадрата увеличивается (уменьшается) в n 2 раз и наоборот. Задачи: (Решаем устно) а)Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами 4 и 16 b) Дан квадрат A B D D B Как построить квадрат, имеющий в 2 раза большую площадь? C S=16· 4=64 16 F G C 4 8 S=8· 8=64 8

Площадь параллелограмма Sпар= а·ha=b·hb. Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению стороны и В проведенной к ней высоты Дано: АВСD – параллелограмм; BK AD; K AD. Доказать: SABCD = AD BK. С hb hа b А К а D P Доказательство 1) Проведем CP AD; CP = BK 2) ABK = DCP (по катету и гипотенузе) S ABK = S DCP. 3) ВСPK – прямоугольник (по определению) SBСPK = BC BK. 4) SABCD = S ABK + SBСDK = S DCP + SBСDK = SBСPK = BC BK = AD BK. Таким образом, Sпар = аha. Теорема доказана.

Площадь треугольника S = Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения стороны и проведенной к ней высоты. A D Дано: АВС; AK BС; K BС. Доказать: S ABC = 0, 5·BC AK. ha B K a C Доказательство: Достроим треугольник до параллелограмма АВDC: AK – высота; АВС = DСA S АВС = 0, 5·SABCD = 0, 5·BC AK. Таким образом, площадь треугольника: S = Теорема доказана.

A Следствия (доказательства – устно). 1) Площадь треугольника, отсекаемого от АВC средней линией равна · S АВC B ha a C 2) Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. 3) Площадь прямоугольного треугольника: S = ha a b 4) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения его диагоналей. S= d 1·d 2 Площадь ромба (квадрата) равна половине произведения его диагоналей a d 1 d 2

Площадь трапеции Sтрап. = Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. b Дано: АВСD – трапеция; AD || BC; BK AD, K AD. Доказать: SАВСD = 0, 5(AD + BC) BK. h h а Доказательство: Диагональ BD разбивает трапецию на АВD и ВСD, BK= PD – высоты этих треугольников. SАВСD = S АВD + S ВСD = 0, 5 AD BK + 0, 5 BC PD = 0, 5(AD + BC) BK. Таким образом, Sтрап. = , где a и b – длины оснований; h – высота трапеции. Теорема доказана. Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Теорема Вариньона. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника. Дано: четырехугольник ABCD; M – середина AB; N – середина BC; K – середина CD; L – середина DA. Доказать: MNKL – параллелограмм; 2) SMNKL = 0, 5·SABCD. Доказательство: 1) MN и KL – средние линии треугольников АВС и ADC MN || KL и MN = 0, 5·AC = KL MNKL – параллелограмм 2) Аналогично, SMNKL = SABCD– (SMBN+ SNCK+SKDL + SLAM)= 0, 5·SABCD. Теорема доказана.

Замечание: Теорема верна и для невыпуклого четырехугольника SMNKL = SABCD – ((SMBN + SKDL) + (SLAM – SNCK)) = SABCD – SABCD = 0, 5·SABCD

Найдите площадь геометрической фигуры. 1) 24 a) 560; b)576; c)476; d)519. 24 24 2) a) 120; b)240; c)180; d)160. 30˚ 10 8 3) a) 48; 6 b)100; c)24; d)36. 4 4) 10 150˚ a) 150; b)100; c)50; d)40. 16 5) 15 a) 150; b)300; c)60; d)35. 20

Домашнее задание: 1. 2. 3. Выучить формулы площадей многоугольников. Разобрать и выучить доказательства теорем. (Не забывайте про теоретический зачет!) Решить задачи № 455, 469, 472, 466, 467

Благодарю за внимание!

Список литературы 1. Геометрия, 7 -9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 14 -е изд. – М. : Просвещение, 2008. - 384 с. : ил. . 2. Открытый банк заданий по математике http: //www. mathege. ru