Планирование эксперимента Если эксперимент удался что-то здесь не

Планирование эксперимента «Если эксперимент удался, что-то здесь не так…» Первый закон Фингейла

Планирование эксперимента – основные понятия 4. 1 Эксперимент Виды эксперимента: активный, пассивный План эксперимента Цели планирования эксперимента Факторы, отклики Уровень фактора Интервал варьирования. Факторное пространство Точка факторного пространства где k - количество факторов Xjmin и Xjmax – допустимые границы изменения уровней j-го фактора;

Требования к факторам • Управляемость. • Факторы должны быть определены количественно. Кодирование факторов: • Выбор независимых переменных. • Число уровней. • Надо учитывать совместимость факторов. 4. 2

Требования к откликам • Однозначность в статистическом смысле; • Эффективность с точки зрения достижения цели; • должен быть имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым; • дрейф отклика. 4. 3

Стратегическое планирование эксперимента 4. 4 Цель – найти сочетания уровней факторов, при котором может быть получена наиболее полная и достоверная информация о поведении системы. Матрица плана. Две основные задачи: идентификация факторов; выбор уровней факторов, требования к количеству уровней.

Способы построения стратегического плана Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для k факторов можно вычислить так: N=р1 р2 р3 … рk. рi – число уровней i-го фактора. Если число уровней для всех факторов одинаково, то N=рk. Рандомизированный план. Латинский план (или «латинский квадрат» ). Если первичный фактор А имеет р уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается р уровней. N=р р Эксперимент с изменением факторов по одному. Он требует проведения всего N=р1+р2+р3+…+рn опытов. Неполные факторные планы (дробные реплики). 4. 5

Построение модели отклика Построение однофакторной модели, линейной по параметрам Показатель Х – фактор, Y – отклик, зависимость Y=F(Х) – функция отклика. Если n задано, для определения bi используют МНК. 4. 6

Построение многофакторной модели, линейной по параметрам Показатели Х 1, Х 2, …, Хn – факторы; величина Y – отклик; Y=F(Х 1, Х 2, …, Хn) – функция отклика. Например, для трех факторов функция отклика будет иметь вид: y – значения критерия; bi – линейные коэффициенты; bij – коэффициенты двойного взаимодействия; bijk – коэффициент тройного взаимодействия; xi – кодированные значения факторов 4. 7

4. 8 Расчет коэффициентов регрессии рассмотрим на примере число факторов k=3, число уровней р=2, число опытов N=23=8, число повторных наблюдений в каждом опыте n=3. Требуется по данным эксперимента построить многофакторную модель отклика. Матрица планирования для факторов, варьируемых на 2 -х уровнях

Расчет коэффициентов модели отклика Значение свободного члена Линейные коэффициенты Коэффициенты, характеризующие парные взаимодействия факторов Коэффициент тройного взаимодействия факторов 4. 9

Проверка значимости коэффициентов регрессии Доверительный интервал для коэффициентов регрессии: где t(альфа, N*n) – критическая точка распределения Стьюдента для числа опытов N*n. 4. 10

Оценка качества (адекватности) модели 4. 11 Дисперсия воспроизводимости Остаточная дисперсия Критерий Фишера: вычисляется отношение F=(DO 2/ DВ 2) и сравнивается с критическим в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы m 1=N-(n+1) и m 2=n (условием адекватности модели является выполнение Fрасч

Свойства полного факторного эксперимента типа 2 k 4. 12

Тактическое планирование эксперимента 4. 13 Основное противоречие машинных экспериментов – между точностью результатов и ограничением на ресурсы. Тактическое планирование решает следующие вопросы, связанные с проведением имитационного эксперимента: • определение длительности переходного режима (анализ установившегося состояния) • задание начальных условий (инициализация); • определение продолжительности имитационного прогона; • установления необходимого объема испытаний (числа прогонов с различными последовательностями чисел); • уменьшение дисперсии отклика.

Определение стационарного режима Установившимся или стационарным называется такое состояние модели, когда последовательные наблюдения отклика в ней статистически неразличимы (система моделируется в типичных для нее условиях). Подбор начальных данных Правила останова По критическому событию. Существует 2 типа критических событий: • по состоянию; • по времени. Проблема: удлинять прогон или повторять его? Задача: определить при заданной точности необходимое число прогонов. 4. 14

4. 15 Количество реализаций Для оценки а, выбирается величина | а- |< - точность оценки вероятность того, что это неравенство выполняется - достоверность оценки. Количество реализаций: р – вероятность наступления события при N реализациях. Для =0, 05 t =1, 96 Количество реализаций: Для уменьшения возможны варианты: - уменьшить дисперсию ( ) - увеличить число реализаций ( N ) - так формулировать задачу, чтобы вероятности случайных величин были не очень близки к 0, 5.

Методы понижения дисперсии Метод повторения Метод подынтервалов Метод циклов (регенеративный метод) Метод дополнения Метод стратифицированной выборки 4. 16

4. 17 Оценка устойчивости результатов моделирования Под устойчивостью результатов имитации будем понимать степень нечувствительности ее к изменению условий моделирования. На практике рекомендуется устойчивость результатов моделирования оценивать дисперсией значений отклика (по выбранной компоненте). Если эта дисперсия при увеличении времени моделирования не увеличивается, значит, результаты моделирования устойчивы. Оценка пригодности модели 1. Дисперсионный анализ. 2. Критерий хи-квадрат. 3. Критерий Колмогорова-Смирнова. 4. Регрессионный анализ. 5. Ретроспективный анализ.