Планиметрические задачи 29 09 2012 Теорема

Планиметрические задачи 29. 09. 2012

Теорема • Если в многоугольник с четным числом сторон 2 n вписана окружность, то сумма а 1+а 3+а 5+…а 2 n-1 длин его сторон с нечетными номерами равна сумме а 2+а 4+а 6+…а 2 n длин его сторон с четными номерами. а 1+а 3+а 5+…а 2 n-1 = а 2+а 4+а 6+…а 2 n • В частности , если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны

Задача 1. В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, а к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых треугольников равна 48. Найти длину боковой стороны данного треугольника.

Задача 2 Равнобедренная трапеция описана около круга. Произведение полусуммы ее оснований и высоты равно S, а острый угол при основании равен 30 градусам. Найти длину боковой стороны трапеции.

Дома 1. В равнобедренную трапецию, длина одного из оснований которой равна 4, вписана окружность с радиусом 1. Найдите периметр трапеции. 2. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 6. Точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность длин которых равна 5. Найдите длину средней линии трапеции.

3. Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус угла при основании равен 0, 8. Найдите высоту трапеции. 4. В ромб с длиной стороны 20 вписана окружность. Найдите ее радиус, если длина одной диагонали ромба в 4/3 раза больше длины другой диагонали.