План лекции 1 2 3 4 Параметры электрических

План лекции: 1. 2. 3. 4. Параметры электрических цепей. Топологические понятия Законы. Кирхгофа в матричной форме Составление системы уравнения. Литература: Основная литература: 1. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: Учебник для студентов вузов / Под ред. В. А. Веникова. - М. : Высшая школа. 1986. - 288 с. 2. Бессонов. Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М. : Высшая школа, 996. – 638 с. Дополнительная литература: 1. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1. Учебное пособие для вузов /Данко П. Е. , Попов А. Г. , Кожевникова Т. Я – М. ; Мир и Образование, 2002. – 450 1

1. Параметры электрических цепей Электрическая цепь это совокупность соединенных проводниками – проводникам источников и приемников электромагнитной энергии. Электрическая цепь служит для передачи, распределения и преобразования электромагнитной энергии. Приемники – это накопители и потребители электромагнитной энергии. Накопителизапасают и затем отдают в цепь электромагнитную энергию это индуктивные и емкостные накопители. Потребители преобразуют электромагнитную энергию в другие вид энергии – это нагреватели, лампы, двигатели и другие устройства Свое назначение электрическая цепь выполняет при наличии в не электрического тока и напряжения 2

Электрический ток Ток – это упорядоченное движение зарядов, равное скорости их перемещения через поперечное сечение участка цепи Напряжениеравно энергии, затрачиваемой на перемещение единицы заряда из одной точки цепи в другую точку и равно разности потенциалов этих точек Потенциал – это скалярная величина, определяемаяс точностью до постоянной и равная работе по переносу единицы положительного заряда из данной точки в точку Мощность характеризует преобразование энергии на участке цепи и равна скорости изменения этой энергии Если р – то энергия потребляется на данном участке цепи, а если то энергия >0 <0 – р генерируется на этом участке цепи 3

2. Топологические понятия применяются при анализе и расчете схем замещения электрических цепей. Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. Узел место соединения трех и более ветвей. – Условноеизображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии , называется графом электрической цепи. Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется графа Ветвям ветвью. графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граничныеточки ветви графа называют узлами графа. Подграфом графа называется часть графа, т. е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся графе. 4

1. Путь это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две – соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаютс на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 1 ветви 2 -6 -5; 4 -5; 3 -6 -4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно. 2. Контур замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечны – узлом пути. Например, для графа по рис. 1 можно определить контуры, образованные ветвями 2 -4 -6; 3 -5 -6; 2 -3 -5 -4 Если между любой парой узлов графа существует. связь, то граф называют связным. 3. Дерево это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. – Примерами деревьев для графа на рис. 1 могут служить фигуры на рис. 2. рис. 1 рис. 2 5

3. Законы Кирхгофа в матричной форме Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах Первый закон Кирхгофа: Для любого узла цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. Например: со знаком «+» принимаются токи, входящие в узел со знаком «-» принимаются токи, исходящие из узла а Для узел а: Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока рис. 3 6

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений. 1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы. Для графа на рис. 1 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу АН , принимая, что элемент матрицы (i –номер строки; j – номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, 0, если ветвь j не соединена с узломi. Сориентировав ветви графа на рис. 1, получим АН = 7

Данная матрица Н записана для всех четырех узлов и называется А неопределенной. Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “ 4” получим А= Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , т. е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: Например: Для схемы на рис. 1 Отсюда для первого узла получаем 8

Второй закон Кирхгофа: Для любого контура цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах и источниках тока равна алгебраической сумме ЭДС Например: + u J - Со знаком “+” принимаются те слагаемые, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи рис. 4 9

2. Контурнаяматрица(матрицаконтуров это таблица ) – коэффициентов уравнений, составленныхпо второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы соответствуют В контурам, а столбцы – ветвям схемы. Элемент ij матрицы b В равен 1, если ветвь входитв j контур и ее ориентация совпадает с направлением i обхода контура, 1, если не совпадает с направлением обхода контура, и если ветвь не входит в контур 0, j i. Матрицу , записанную для главных контуров, В называют матрицей главных контуров. При этомза направлениеобхода контурапринимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемоеветвями 2 -1 -4, запишем коэффициенты для матрицы В. рис. 5 Второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: В качестве примера для схемы рис. 5 имеем для первого контура получаем 10

3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа. Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений. Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвь входит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь j не входит в i-е сечение. В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем: 11

4. Составление системы уравнения 2 к 1 к Решение системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа, позволяет определить все токи и напряжения в рассматриваемой цепи 1 3 к 3 2 U J 4 Рис. 6 Схема электрической цепи 5 6 Рис. 7 Топологическая схема электрической цепи 12

13

14

15

16