ПИв ЭУ Логические Основы ЭВМ ПИв ЭУ

ПИв. ЭУ Логические Основы ЭВМ

ПИв. ЭУ Алгебра логики (булева алгебра) § изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. § сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

ПИв. ЭУ Язык Паскаль § Простейшими операциями в алгебре логики являются операции: § логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR), операция дизъюнкции) § логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения — символы • или /.

ПИв. ЭУ При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу

ПИв. ЭУ При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

ПИв. ЭУ В алгебре логики также вводится еще одна операция — отрицания (операция НЕ, инверсия), обозначаемая чертой над элементом. Отрицание – это унарная операция, т. к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

ПИв. ЭУ Законы алгебры логики Закон тождества: А=А Закон непротиворечия: _ А * А = 0 Закон исключительного третьего: _ А + А = 1

ПИв. ЭУ Закон двойного отрицания Законы Моргана

ПИв. ЭУ Правило коммутативности (переместительный) Правило ассоциативности (сочетательный)

ПИв. ЭУ Правило дистрибутивности (распределительный)

ПИв. ЭУ Справедливы соотношения, в частности: а + а = а, а + b = b, если а ≤ b, а ∙ а = а, a ∙ b = а, если а ≤ b, а + a ∙ b = a, a ∙ b = b, если а ≥ b, а + b = а, если а ≥ b, а + b = b, если а ≤ b. Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом — 1.

ПИв. ЭУ Функция в алгебре логики — выражение, содержащее элементы алгебры логики а, b, с и др. , связанные операциями, определенными в этой алгебре. Примеры логических функций:

ПИв. ЭУ Таблица истинности для конъюнкции X 1 0 0 1 X 2 0 1 0 f 1(X 1, X 2) 0 0 0 1 1 1 Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

ПИв. ЭУ Таблица истинности для дизъюнкции X 1 0 0 1 X 2 0 1 0 f 1(X 1, X 2) 0 1 1 1 Функция дизъюнкции истинна тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него. .

ПИв. ЭУ Таблица истинности для логического отрицания (инверсии) А _ А 1 0 0 1 Функция логического отрицания истинна тогда, когда высказывание, входящее в него ложно и наоборот. А 1 _ А

ПИв. ЭУ Другие полезные закономерности A and true = A A or true = true A and false = false A or false = A A and (not A) = false A or (not A) = true

ПИв. ЭУ Пример. Необходимо выполнить некое действие с файлом, «если дата его создания T меньше времени L, а если время T больше L, то требуется выполнение дополнительного условия P» ---: T < L or (T > L and P) Используем дистрибутивность — раскрываем скобки: (T < L or T > L) and (T < L or P) Первая скобка всегда «истина» , а «истина и что-то — равно что-то» . Получаем выражение: T < L or P

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 1. Законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 2. Применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией :

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 3. Повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания :

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 4. Вводится вспомогательный логический сомножитель ( ); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 5. Сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 6. Выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 7. К отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 8. Общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 9. Используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции:

ПИв. ЭУ Приемы и способы упрощения логических формул 10. Используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения: