Первообразная и интегралы. Подготовил ученик 11 «А» класса Седых М. А.
Цель работы: • Определить понятия первообразной , определенного и неопределенного интеграла, узнать их свойства. • Рассмотреть примеры решения интегралов.
Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на заданном промежутке Х , если для всех Х из этого промежутка выполняется равенство: F`(x)=f(x) Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием. Это действие , обратное нахождению производной функции. Интегрирование позволяет по производной функции восстановить саму функцию. Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции y=f(x): ʃ f(x)dx=F(x)+C Эта операция позволяет найти множество всех первообразных этой функции , которые отличаются друг от друга только на константу С
Основные свойства неопределённого интеграла Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка: Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:
Соответственно формулы представленные на предыдущем слайде нужны , чтобы преобразовывать интегралы для их последующего решения. Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее: Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция. В решении интегралов нам могут помочь всевозможные таблицы интегралов:
Например, нам нужно решить неопределенный интеграл: ʃ sin xdx Это табличный интеграл, поэтому: ʃ sin xdx = -cos x + C Убедимся в справедливости данной формулы: Вот, кстати, стало понятнее , почему к функции F(x) приписывается константа С. При дифференцировании она всегда превращается в ноль.
Рассмотрим еще один пример: (1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы , избавляясь от степени. (2) Вносим x^2 в скобку, избавляясь от произведения. (3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу). (4) Превращаем интегралы по табличной формуле. (5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь – она несократима и в ответ входит именно в таком виде.
Если нам заданы пределы интегрирования , то мы получаем определенный интеграл: а - нижний предел b - верхний предел Для того , чтобы найти значение определенного интеграла мы пользуемся формулой Ньютона-Лейбница: Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл – это число , равное площади криволинейной трапеции – фигуры , ограниченной графиком , положительной на отрезке [a ; b] , функцией y=f(x) , прямыми x=a и x=b , а также осью ОХ.
Фигура S – это криволинейная трапеция.
Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим задание В 8 из ЕГЭ 2013 года: Функция - одна из первообразных для функции f(x) Найти S закрашенной фигуры.
Решение F(-9)=(-9)^3+30(-9)^2+302(-9)-15/8= -1017 -15/8 F(-11)=(-11)^3+30(-11)^2+302(-11)-15/8= -1023 -15/8 F(-9)-F(-11)= -1017 -15/8 – (-1023 – 15/8)=1023 -1017=6 Ответ : 6
И последний пример: Вычислить: Решение: (1) Выносим константу за знак интеграла. (2) Интегрируем по таблице. Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления? (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Скачать презентацию Первообразная и интегралы Подготовил ученик 11 А класса
Первообразная и интегралы.pptx