Первобытный способ записи числа I

Первобытный способ записи числа I - 1 II - 2 III - 3 IIIII - 9 IIIIIIII - 15 Римская нумерация I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 M - 1000 II III VI VIII XV XVI IV IX XIV XIX

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000 У 1. Запишите, пользуясь римской нумерацией данные числа. 111 222 333 444 555 Чем еще отличаются записи чисел правого и левого столбцов кроме того, что в левом столбце они сделаны арабскими цифрами, а в правом – римскими? CXI CCXXII CCCXXXIII CDXLIV DLV 555 = 500 + 5 = 5 • 100 + 5 • 10 + 5 Сумма разрядных слагаемых

У 2. Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов. Запишите их, оставляя промежутки между классами. c Класс Класс триллион миллиард миллионо тысяч единиц ов ов в сот. дес. ед. 2 4 200 004 085 954 003 057 000 8 5 9 5 4 3 5 7 000 831 000 820 000 8 3 1 8 2 63 900 000 00 6 3 9

У 20. Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов, и запишите их. Проанализируйте полученные результаты. Класс Класс триллион миллиард миллионо тысяч единиц ов ов в сот. дес. ед. 4 5 6 4 5 6 456 4 560 45 600 456 000 4 560 000 45 600 000 456 000

Вывод: При сдвиге всех цифр числа на один разряд влево число увеличивается в 10 раз

У 21. Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов, и запишите их. Проанализируйте полученные результаты. Класс Класс триллион миллиард миллионо тысяч единиц ов ов в сот. дес. ед. 3 2 5 325 000 32 500 000 3 250 000 325 000 32 500 3 2 5 3 250 3 2 5 325 3 2 5

Вывод: При сдвиге всех цифр числа на один разряд вправо число уменьшается в 10 раз

У 130 ОКРУГЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 6948 7000 6448 6000 6848 7000 6348 6000 6748 7000 6248 6000 6648 7000 6148 6000 6548 7000 6048 6000 Округление с избытком Округление с недостатком АНАЛИЗИРУЕМ РЕЗУЛЬТАТЫ И ФОРМУЛИРУЕМ ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ

У 151. При помощи калькулятора было найдено значение выражения: 2740 · 20 + 15 360 · 30 + 25 300 · 40 = 5 650 000. Попробуйте, не выполняя точных вычислений, доказать, что это равенство неверное. Проверьте себя 2740 · 20 + 15 360 · 30 + 25 300 · 40 = 5 650 000 2740 3000 · 20 15 360 25 300 + 15 000 · 30 + 25 000 · 40 = = 60 000 + 450 000 + 1 000 = 1 500 000

Определите старший разряд значения числового выражения. а) 43 562 + 7 638. Выполним округление: 43 562 40 000; 7 638 8 000. 40 000 + 8 000 = 48 000. Старший разряд: десятки тысяч. б) 6 832 – 5 768. Выполним округление: 6 832 7 000; 5 768 6 000. 7 000 – 6 000 = 1 000. Старший разряд: тысячи.

В устные упражнения необходимо включать следующие задания. Даны числа …. Определите: Старший разряд числа. В каких разрядах стоит цифра … Какая цифра стоит в разряде … Прочитайте данные числа. Округлите число до … разряда. Определите, до какого разряда выполнено округление. Определите старший разряд суммы. Определите цифру этого разряда. Определите старший разряд разности. Определите цифру этого разряда. Определите старший разряд произведения. Определите цифру этого разряда. Определите старший разряд частного. Определите цифру этого разряда.

ПАРАГРАФЫ 1 -9 ВКЛЮЧАЮТ ТОЛЬКО ТАКИЕ ЗАДАНИЯ, В КОТОРЫХ ВСЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ УЧАЩИЕСЯ МОГУТ ВЫПОЛНИТЬ УСТНО. НЕТ СМЫСЛА ПЕРЕХОДИТЬ К ПИСЬМЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ, ПОКА НЕ ВОССТАНОВЛЕНЫ УТРАЧЕННЫЕ ЗА ЛЕТО НАВЫКИ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. С ПАРАГРАФА 10 НАЧИНАЮТСЯ ПИСЬМЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

237 541 + 3 072 080 = 3 309 621 Класс миллионов сот. дес. Класс тысяч сот. дес. ед. сот. дес. 3 2 0 3 7 7 2 5 0 4 8 1 0 3 + ед. Класс единиц ед. 3 0 9 6 2 1 237 541 + 3 072 080 3 309 621 Сложение натуральных чисел выполняется по разрядам

4 508 922 – 364 209 = 4 143 813 Класс миллионов сот. дес. – Класс тысяч ед. Класс единиц 4 дес. ед. сот. дес. 5 0 8 0 2 3 4 сот. ед. 6 4 2 0 4 508 022 – 364 209 9 1 4 3 8 1 3 2 4 143 813 Вычитание натуральных чисел выполняется по разрядам

У 172 1342 432 2684 + 4026 5368 12078 1342 432 2684 + 4026 5368 579744

У 172 7649 203 22947 + 15298 175927 7649 203 22947 + 15298 1552747

У 180 160740 285 – 1425 5 6 4 – 1824 1710 1140 – 1140 – 14028 28 140 51 – 28 28 0 0 – 14028 28 140 5 0 1 – 2 8 28 0 – 92138 46 2 00 3 92 – 13 8 138 0

Чаще всего при делении возникают ошибки двух типов. 1) Остаток оказывается больше делителя, его тоже делят на делитель, в результате чего в частном возникает лишний разряд. 2) После приписывания к остатку цифры следующего разряда получается число, меньшее делителя. В этом случае в частное надо записать нуль. Этот нуль пропускают и приписывают цифру следующего разряда. Поэтому, чтобы деление было выполнено правильно, надо: 1) внимательно следить за тем, чтобы остаток был меньше делителя; 2) называть разряд, деление которого происходит в настоящий момент.

Деление с остатком У 279. За 4 часа гоночный автомобиль преодолел расстояние в 497 км. Какова скорость этого автомобиля? 497 4 4 124 9 8 17 16 1 497 : 4 = 124 (1 ост. ) 497 – делимое; 4 – делитель; 124 – неполное частное; 1 – остаток. Остаток всегда меньше делителя

Кусок проволоки длиной 1 м разрезали на 2 равные части. Какова длина одной части? У 300. Р е ш е н и е: 1 м = 10 дм. 5 дм 5 дм ? ? 1 м О т в е т: длина одного куска – 5 дм. Кусок проволоки длиной 1 м разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части? У 301. 1 м 3? Тогда 10 дм : 2 = 5 дм. 1 м ? 3 1 м 1 м ? 3 Р е ш е н и е: 1 м = 10 дм, 10 : 3 = 3 (1 ост. ); 1 м : 3 = м. 1 м = 100 см, 100 : 3 = 33 ( 1 ост. ) О т в е т: длина одного куска – метра. 1 м = 1000 мм, 1000 : 3 = 333 ( 1 ост. )

У 302. Кусок проволоки длиной 2 м разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части? 2 м 3? ? 2 3 м 2 м Р е ш е н и е: 2 2 м : 3 = м. 3 2 О т в е т: длина одного куска – метра. 3

Обыкновенные дроби Дробь, как результат деления натуральных чисел Проанализируйте равенства: 1 : 3 = 1 3 Д Р О Б Ь числитель одна делимое деление знаменатель третья делитель 1 3 2 : 3 = 2 3 Д Р О Б Ь числитель две делимое деление знаменатель третьих делитель 2 3

Опишите Две равные доли рисунок: Результат деления натуральных чисел 1 A 6 1 6 1 6 2 м 6 C 2 6 1 6 B 1 м 2 6 1 6 2 м 6 2 6 2 6 D 2 м - каковы длины отрезков AB и CD? - на сколько частей разделен каждый из этих отрезков? - чему равна длина одной части в каждом случае? - каким образом получен каждый из выделенных отрезков? - чему равны длины выделенных отрезков? 2 - как получается дробь в первом случае и как во втором? 6

2 м числитель знаменатель 2 6 делимое делитель 1 м числитель знаменатель 2 6 столько равных долей взяли на столько равных долей разделили единицу

Мы даем НЕ ФОРМАЛЬНОЕ, А ГЕНЕТИЧЕСКОЕ определение обыкновенной дроби. 1) Чтобы получить дробь m/n надо единицу разделить на m равных частей и взять n таких частей. 2) Чтобы получить дробь m/n надо число m разделить на число n.

У 320(2) У 320(1) В пятом классе 36 человек. В школьной математической олимпиаде участвовали всех учащихся этого класса. Сколько учащихся пятого класса приняли участие в олимпиаде по математике? В школьной математической олимпиаде принимали участие четверо учеников пятого класса, что составило всех учащихся этого класса. Сколько всего учащихся в пятом классе? Решение: 36 : 9 = 4 (чел. ) – 1/9 4 · 9 = 36 (чел. ) какая величина принята за целое в каждой задаче? в какой из задач эта величина известна, а в какой нет? в какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части? можно ли утверждать, что это взаимно обратные задачи?

У 324(1) У 324(2) Площадь поля 50 га. За день бригада трактористов вспахала поля. За день бригада вспахала 20 га, что составило площади всего поля. Сколько гектаров поля вспахала бригада за день? Какова площадь поля? Площадь всего поля. какая величина принята за целое в каждой задаче? Не известна. Известна. в какой из задач эта величина известна, а в какой нет? Целое по его части. Часть от целого. в какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части? Это взаимно обратные задачи. То, что в первой задаче дано можно ли утверждать, что это взаимно обратные задачи? – во второй надо найти, и наоборот. Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? как найти величину, которая приходится на в первом случае и как во втором? Нужно знать, какая площадь приходится на .

Площадь поля 50 га. За день бригада трактористов вспахала поля. За день бригада вспахала 20 га, что составило площади все-го поля. Сколько гектаров поля вспахала бригада за день? Какова площадь поля? Решение: Целое – площадь всего поля: 50 га. Целое – площадь всего поля: не известна. 1) 50 : 5 = 10 (га) – площадь поля. 1) 20 : 2 = 10 (га) – площадь поля. 2) 10 · 2 = 20 (га) – площадь поля. 2) 10 · 5 = 50 (га) – площадь поля. Ответ: 20 га. Ответ: 50 га.

У 341. Запишите, какая часть фигуры закрашена красным, какая желтым и какая зеленым цветом. Постарайтесь найти разные способы. б) в) г) красный = = желтый = = а) зеленый = = 1

12 см M N MN MN = = =

Итак, мы убедились, что одну и ту же величину можно записать разными способами, например: Проверьте себя: : 3 = : 3 : 2 = : 2 2 8 = = 2 8 Посмотрите внимательно на эти дроби. Сравните числители и знаменатели в каждой паре. Что вы заметили?

При умножении и числителя и знаменателя дроби на одно и то же число (кроме нуля) ее величина не изменяется При делении и числителя и знаменателя дроби на одно и то же число (кроме нуля) ее величина не изменяется

№ 420 Запишите, какая часть фигуры закрашена: Проверьте себя a) красным – 1 6 2 6 3 6 б) зелёным – 2 6 3 6 4 6 5 6 3 6 2 6 1 6 в) г) красным и зеленым не закрашена –

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменения

Проследите, в какой последовательности производятся записи при сложении дробей с одинаковыми знаменателями: 1 6 2 6 1 + 2 6 3 6

1 2 1 4 3 4 1 2 1 16 9 16 1 2 3 4 1 8 5 8 1 16 13 16

2 1 1 2 + 1 3 2 4 4 4 4 Проследите, в какой последовательности производятся записи при сложении дробей с разными знаменателями: 4 1 2 1 8 4 + 1 8 5 8

1 5 1 2 7 10

Проследите, в какой последовательности производятся записи при сложении дробей с разными знаменателями: 2 1 5 2 2 5 1 2 5 5 2 + 5 10 7 10 4 + 5 10 9 10

2+ 2 7 =2 2 7 2 3 7 + 2 7 =2 5 7 2 3 7 2 7 +1 = 3 5 7

2 3 7 + 6 7 =3 2 7 2 3 7 +1 6 7 =4 2 7 Выход

1 5 9 – 1= – 5 9 = 1 1 5 9 – 2 9 – 8 9 =1 3 9 = 6 9

У 479. 2 Черепаха за 1 мин проползает м. Какое расстояние она 9 преодолеет за 4 мин? 1 м 2 9 · 4 = 2 9 + 2 9 · 4 = = 2 + 2 + 2 9 2 · 4 9 = 2 · 4 = 9 8 9

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число a·m а ·m= b b

3 : 3 = 1 4 4 3 : 2 = 3 8 4

1 : 2 = 1 2 4

1 : 2 = 1 8 4

числитель делится на n a: n а : n= b b числитель не делится на n а a : n= b·n b

Что значит: умножить 1 на 2? Это значит: 1 взять дважды. Что значит: Это значит: 3 3 умножить 1 3 на 1 2 1 1 взять от . 2 3 ? 1 3 . 1 2 1 3 · 2 : 2 1 3 · 2 1 6

Что значит: Это значит: 1 3 3 1 от взять . 4 3 умножить 3 на ? 4 1 3 . 3 4 1 3 : 4 · 3 . 3 4 1 3 · 4 1 · 3 3 · 4 · 3 3 12 1 4 3 12

Что значит: умножить a b Это значит: a b на . m n a m взять от . ? a b n : n·m . m n a · b·n a· m b· n m b a· m b· n

Что значит разделить одно число на другое? 1) m : n – разделить m на n равных частей. 2) m : n – узнать, сколько раз n содержится в m. В обоих случаях имеет место соотнесение арифметического действия с реальной жизненной ситуацией

Разделить а на b: a : b 1 2 1 : 1 = 2 2 узнать, сколько раз b содержится в а 1 3 1 3 1 : 1 = 3 3 1 4 1 6 1 6 1 : 1 = 2 2 4 2 3 2 1 : = 4 3 6

Действие – умножение Задача – отыскание части от целого Что значит: умножить 7 на Это значит: 2 3 ? Обратное действие – деление. Обратная задача – отыскание целого по его части. Это значит: Что значит: разделить 7 на 2 от 7 взять . 3 2 3 ? 2 найти число, которого 3 равны 7.

Найти число, 2 3 7 : 2 3 которого равны 7 ! 7 · 3 21 7 = · 3 = = (7 : 2) · 3 = 2 2 7 · 3 = 7 : 2 3

Действие – умножение. Задача – отыскание части от целого. Что значит: Это значит: 2 3 умножить 5 на 4 ? Обратное действие – деление. разделить 5 Обратная задача – отыскание целого по его части. Это значит: Что значит: 2 5 3 2 от взять . 4 на 3 4 ? 3 Найти число, которого 2 равны . 5 4

Найти число, 3 4 2 3 : 5 4 которого 2 равны ! 5 2 · 4 8 2 2 = · 4 = = ( : 3) · 4 = 5 15 5 · 3 3 2 2 · 4 : = 5 · 3 4 5

Это значит: Что значит: разделить a b на : m n m найти число которого ? a n равны . b a b : m ·n : m n a · b·m a·n b·m n a·n b·m

Целая часть Дробная часть д е Класс тысяч Класс единиц с миллионов я т ы сот. дес. ед. е 1 1 с о т ы е т ы с я ч н ы е 1 1 т т ы ы с сс я тя ч оч н н ы ы е е м и л л и о н н ы е 1 000 100 000 10 1 1 д е с я т и 10 1 1000

Укажите младший разряд числа и прочитайте его д е Класс тысяч Класс единиц с я миллионов т ы сот. дес. ед. е с о т ы е т т т ы ды ы с е с с я ся ч яч тч н т н он ы иы ы е е е 6 7 5 1 1 9 2 6 1 4 3 7 7 2 5 5 3 2 3 1 7 8 3 7 1 3 1 4 3 6 2 8 3 м и л л и о н н ы е

Прочитайте и запишите числа из таблицы разрядов д е Класс тысяч Класс единиц с я миллионов т ы сот. дес. ед. е с о т ы е т т т ы ды ы с е с с я ся ч яч тч н т н он ы иы ы е е е 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 м и л л и о н н ы е 23, 5 20, 35 2, 035 20, 035 23, 05 203, 05 0, 235 0, 02035 0, 00235

У 644. Прочитайте данные числа и запишите их в таблицу разрядов. Десятки 20, 0002 30, 7090 82, 400 2 3 8 8 8 Единицы Десятые Сотые Тысячные Десяти тысячные 2 2 7 4 4 4 9 Вывод: 82, 4 = 82, 4000…

1 2 , 3 4 1 2 3, 4 1 2 3 4 12, 34 · 10 = 123, 4 12, 34 · 100 = 1234

5 6 7, 8 5 6 , 7 8 5, 6 7 8 567, 8 : 10 = 56, 78 567, 8 : 100 = 5, 678

Сравните числа: 48, 326 и 48, 5 < 651, 0786 и 651, 098 < 52, 6 и 52, 59 > Класс тысяч 100 10 1 Класс единиц 100 1 10 1 4 6 6 10 8 3 4 5 5 5 8 1 1 2 2 5 1 1000 1 1 10 000 100 000 5 5 1 100 2 7 9 6 8 8 6

Найдите сумму: 24 + 32 ; 2, 4 + 3, 2. 24 + 32 = 56; Класс тысяч 100 10 1 Класс единиц 100 10 1 2 +3 5 1 10 1000 4 2 6 2 +3 5 2, 4 + 3, 2 = 5, 6. 4 2 6 1 1 10 000 100 000 2 4 + 3 2 5 6 + 2, 4 3, 2 5, 6

Сложение десятичных дробей, так же как и сложение натуральных чисел, выполняется поразрядно.

12 · 47 = 564 1, 2 · 47 = 12 · 4, 7 = ? 56, 4 0, 12 · 47 = 5, 64 1, 2 · 4, 7 = 5, 64 0, 12 · 4, 7 = 0, 564 12 · 0, 47 = 5, 64 0, 012 · 47 =0, 564

13 · 4 = 52 1, 3 · 4 = 5, 2 0, 13 · 4 = 0, 52 13 · 0, 4 = 5, 2 13 · 0, 04 = 0, 52 1, 3 · 0, 04 = 0, 052 0, 13 · 0, 04 = 0, 0052

15 · 6 = 90 0, 15 · 6 = 0, 9 1, 5 · 0, 006 = 0, 009 0, 15 · 0, 06 = 0, 009 0, 015 · 6 = 0, 09 0, 015 · 0, 06 = 0, 0009 0, 15 · 0, 006 = 0, 0009 0, 00015 · 6 = 0, 0009 15 · 0, 0006 = 0, 009

356 · 34 = 12 104 3, 56 · 3, 4 = 12, 104 3, 5 6 3, 4 1424 + 1068 1 2, 1 0 4

74 · 625 = 46 250 0, 074 · 6, 25 = 0, 4625 0, 0 7 4 6, 2 5 3 7 0 + 1 4 8 4 4 4 0, 4 6 2 5 0

Подумайте, как найти частное 0, 6 : 2. Интуитивно ясно, что результат равен 0, 3. Действительно, если представить 0, 6 в виде обыкновенной дроби, получим 0, 6 : 2 = (6/10) : 2 = 0, 3. У 853. Вычислите устно: 1) 0, 8 : 2; 2) 0, 9 : 3; 3) 5 : 2; 4) 0, 15 : 3; 5) 0, 24 : 4; 6) 10 : 4; 7) 1, 5 : 5; 8) 0, 2 : 4; 9) 0, 5 : 2.

Во время соревнований по художественной гимнастике за выступление с лентой судьи выставили гимнастке следующие оценки: 9, 5; 9, 7; 9, 4; 9, 6; 9, 7. Каков средний балл, полученный гимнасткой в этом виде соревнований? Среднее арифметическое: (9, 5 + 9, 7 + 9, 4 + 9, 6 + 9, 7) : 5 = = 47, 9 : 5 = ?

B 122, 5 м 2 E AB - ? A 4, 9 м C 1225 м 2 F D 49 м AB = 122, 5 : 4, 9 = 1225 : 49 = 25 (м)

Первобытный способ записи числа I — 1 II