Pertemuan I KALKULUS I 3 SKS Kontrak

Pertemuan I KALKULUS I 3 SKS

Kontrak Perkuliahan Materi Fungsi dan Teori Limit Turunan dasar, berantai dan parsial Aplikasi Turunan Integral Aplikasi Integral

Kontrak Perkuliahan Pustaka Kuhfitting, P. KF. 1984. Basic Technical Mathematics with Calculus. California: Brooks/ Cole Publishing Company Faires, J. D. 1988. Calculus. Second Edition. New York: Random House Purcell, E. J & Varberg, D. 1996. Kalkulus dan Geometri analisis. Jilid I dan II. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga dsb

Kontrak Perkuliahan Penilaian UTS: 30 % UAS: 30 % Tugas: 40% - Quiz : 20 % - Tugas (Paper/ Makalah): 15 % - Keaktifan: 5%

MATERI FUNGSI: Pengertian fungsi Istilah dan lambang fungsi Grafik fungsi Jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi fungsi Fungsi Komposisi Fungsi Invers.

1. PENGERTIAN FUNGSI A. Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain) dengan anggota himpunan kawan (kodomain) Contoh : Relasi antara negara dan ibu kota. Relasi bilangan yang lebih besar dari. Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj. . Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu : l. Diagram panah 2. Himpunan pasangan berurutan 3. Diagram Cartesius Contoh : Via: aku senang permen dan coklat Andre: aku senang coklat dan es krim Ita: aku suka es krim

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj. . Diagram panah

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj. . Himpunan pasangan berurutan { (Via, permen) , (Via, coklat) , (Andre, coklat) , (Andre, es krim) , (Ita, es krim)} Diagram Cartesius

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj. . B. Fungsi Relasi yang bersifat khusus. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Syarat fungsi: 1. Ada himpunan asal (domain) 2. Ada himpunan kawan (kodomain) 3. Ada himpunan daerah hasil (range) 4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan 5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj. . B. Fungsi Relasi yang bersifat khusus. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Syarat fungsi: 1. Ada himpunan asal (domain) 2. Ada himpunan kawan (kodomain) 3. Ada himpunan daerah hasil (range) 4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan 5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj. . Korespondensi satu-satu Fungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya.

2. Istilah dan Lambang Fungsi Notasi Fungsi : Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan sebuah huruf tunggal, seperti f. Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x, atau aturan yang harus dipenuhi oleh x Contoh : Jika f(x) = x 2 + 2 x+1, maka : f(0) = f(1) = f(a) = f(a+b) =

Contoh : 1. Untuk f(x) = 3 x 2 – 4 x+2, cari dan sederhanakan : a. f(5) b. f(5+h) c. f(5+h) – f(5) d. [f(5+h) – f(5)]/h 2. Untuk g(x) = 2/x, maka tentukan [g(a+h)-g(a)]/h

Variabel Bebas dan Terikat Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), maka x disebut variabel bebas, dan y disebut variabel tak bebas/terikat. Contoh : y = f(x)= x +2, maka x adalah variabel bebas, dan y variabel terikat.

Daerah Asal dan Daerah Hasil Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi/aturan, juga daerah asal fungsi (domain), yang merupakan sumber nilai dari suatu fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain), yang merupakan nilai hasil dari aturan yang ada. Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real. Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnya pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif.

Latihan: Carilah daerah asal dan daerah hasil dari : a. b. c. d. e. f(x) = 2 / x-8 f(w) = 1 / (9 -w 2)1/2 g(x) = (x-5)/x f(x) = 5 x 2+3 x f(x) = x / (x-1)

3. Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, maka dapat dibayangkan fungsi itu dengan cara menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat. Contoh : Tentukan daerah asal, daerah hasil dan grafik fungsi : i. f(x) = (x-2)/x ii. g(x) = ( 4 – x)1/2

4. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi Fungsi Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan daerah asal masing-masing, maka : (f+g)(x) = f(x) + g(x) (f-g)(x) = f(x) - g(x) (f. g)(x) = f(x). g(x) (f/g)(x) = f(x) / g(x) Catatan : hati-hati dengan daerah asal!

Contoh: Jika f(x) = (x-1) /2 dan g(x) = (x)1/2, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya. Jika f(x) = 1/(x+2) dan g(x) = 2 x-1, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

5. Fungsi Komposisi Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f. Jadi : (g ○ f)(x) = g(f(x)) Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g. Jadi : (f o g)(x) = f(g(x))

Latihan (1): Jika diketahui f(x) = (x-2)/1 dan g(x)= (x)1/2, maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x) Jika diketahui f(x) = 2 x 2 dan g(x)= x-5 maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x) Jika f(x) =2 x 2+5 x dan g (x) = 1/x maka tentukan (fog)(2) Jika f(x) = x 2+4 dan g(y)=2/(y)1/2 maka tentukan (gof)(t)

Latihan (2): Jika f(x) = 2 x+5 dan g(x) = (x-1)/(x+4). Jika (f o g) (a)= 5 maka tentukan a Jika f(x) = -x+3 maka tentukan f(x 2)+f 2(x)-2 f(x) Jika f(x) = 2 x , g(x) = x+1, dan h(x) = x 3 maka tentukan (h o g o f) Jika f(x) = 2 x 2+3 x-5 dan g(x)=3 x-2, agar (gof)(a)= -11 maka tentukan a

6. Fungsi Invers Jika fungsi f : A B, maka fungsi g : B A merupakan fungsi invers dari fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x) Contoh 1: Jika f(x) = (x-5)/10, maka tentukan f -1(x) Contoh 2: Jika f(x) = 1/x 2, maka tentukan f -1(x)

Latihan: Jika f(x)-1 = (x-1)/5 dan g(x)-1 = (3 -x)/ 2 maka tentukan (f 0 g)-1 (6) Jika f (x) = ½ x -1 dan g (x) = 2 x+4 maka tentukan (g o f)-1 (10) Jika f(x) = 2 x dan g(x) = 3 - 5 x. Tentukan (g o f)-1 (x) Jika (f o g)(x) = 4 x 2+8 x-3 dan g(x)= 2 x+4 maka tentukan f-1(x)

TUGAS 1 1. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu, kemudian tanyakan nomor sepatu/bulan lahir/tanggal lahir/kota lahir/makanan kesukaan/warna kesukaan/tinggi badan/berat badan mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut. a) Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A! b) Jika B himpunan (baca soal diatas) teman-temanmu, tulislah anggota B ! c) Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram panah, dan dengan himpunan pasangan berurutan. 2. Untuk f(x) = 3 x 2 – 4 x+2, cari dan sederhanakan : [f(nim+h) – f(nim)]/h 3. Carilah daerah asal dan daerah hasil beserta grafiknya dari : a. g(x) = 2 x 2 + 5 (NIM gasal) b. f(x) = x 2 - 2 x (NIM genap)

TUGAS 2 1. Diketahui f(x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2 x – 3. Tentukan: a. (f o g)(x) b. (g o f)(x) 2. Diketahui f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x 2 + 6 x + 7, maka tentukan g(x) ! 3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi 4. Jika diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 5 x – 2 Tentukan (f o g)-1(x)

Pertemuan II KALKULUS I 3 SKS

Jenis-jenis Fungsi Fungsi aljabar Fungsi non aljabar f. irrasional f. Polinom f. linear f. kuadrat f. Eksponensial f. logaritmik f. Trigonometrik f. hiperbolik f. pangkat

Fungsi Aljabar Fungsi Kuadrat (Parabola) f(x)=ax 2+bx+c dengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama dengan nol Contoh: 3 x 2+2 x+1 Fungsi Pangkat Tiga (Kubik) f(x)=ax 3+bx 2+cx+d dengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama dengan nol Contoh: x 3+x 2+5 x

Fungsi Aljabar Fungsi Polinom (Suku Banyak) f(x)=anxn+an-1 xn-1+an-2 xn-2+…+a 1 x+a 0 Contoh: f(x)=-x 5+7 Fungsi Linier f(x)=ax+b Contoh: 5 x+9

Fungsi Trigonometri Apabila sebuah sudut sebesar θ derajat ditempatkan dalam kedudukan standar pada pusat sebuah lingkaran berjari c seperti pada gambar di bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan oleh rumus-rumus berikut: c b a

Fungsi Trigonometri lanj. .

Pertemuan III KALKULUS I 3 SKS

1. Identitas Trigonometri 2. Fungsi Pangkat 3. Fungsi Eksponen

1. Identitas Trigonometri • Kesamaan Ganjil-Genap • Kesamaan Fungsi Trigonometri • Kesamaan Jumlah • Kesamaan Sudut Rangkap Dua

Kesamaan Ganjil - Genap

Kesamaan Fungsi Trigonometri

Kesamaan Fungsi Trigonometri. . lanj INGAT ! sec x = 1 cos x cosec x = 1 sin x cot x = 1 = cos x tan x sin x

Kesamaan Jumlah

Kesamaan Sudut Rangkap Dua LATIHAN 1. 2. 3.

Latihan Kelompok 4. 1. 2. 3. 5.

Tugas 3 1. 2. 3. 4.

Pertemuan V KALKULUS I 3 SKS

2. Fungsi Pangkat y: variabel tak bebas x: variabel bebas n: konstanta Identitas fungsi Pangkat: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Latihan 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10.

3. Fungsi Eksponen y = peubah tak bebas a = konstanta, x = peubah bebas (i) af(x) = ap maka f(x) = p (ii) af(x) = ag(x) maka f(x) = g (x) (iii) af(x) + ag(x) = c maka af(x) + ag(x) =a 0 f(x) + g (x) = 0

Latihan 1. 3. 2. 4. 5. 6.

Tugas 4 a. b. f. g. c. h. d. i. e. j.

Pertemuan VI KALKULUS I 3 SKS

LIMIT FUNGSI Tinjau fungsi yang ditentukan oleh : f(x) = Tetapi pada x = 1 , bagaimana nilai f(x) jika x mendekati 1? Perhatikan tabel di bawah ini :

LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI Dari tabel yang ada, dapat disusun suatu kesimpulan yaitu : f(x) mendekati 3 saat x mendekati 1. Secara matematis ditulis

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI v Bentuk tak tentu 0/0 dapat diselesaikan dengan 2 cara : 1. Memfaktorkan CONTOH:

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI 2. L’Hospital CONTOH:

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI v Bentuk tak tentu ~/~ dapat diselesaikan dengan : Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sbb : Jika m = n hasilnya a/p Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0 jadi karena pangkat pembilang < pangkat penyebut

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI Contoh soal : karena m > n jadi

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI v Bentuk Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x). CONTOH:

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI v Bentuk gunakan rumus sbb: berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a) Diketahui b=-2 ; p =2 ; a =1

Latihan Tentukan nilai dari limit dibawah ini:

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat Θ 00 Sin θ 300 450 0 900 1 Cos θ 600 1 0 Tan θ 0 1 ∞

Latihan Tentukan nilai dari limit dibawah ini:

Tugas 5 Tentukan nilai dari limit dibawah ini: