Pertemuan 23 Diferensial Parsial Tujuan Mahasiswa dapat

Pertemuan 23 Diferensial Parsial

Tujuan Mahasiswa dapat menunjukkan Diferensial parsial dalam penyelesaian sesuatu masalah dalam bidang ekonomi dan bisnis.

PENGERTIAN DIFERENSIAL PARSIAL (1) Suatu fungsi, Z yang dinyatakan sebagai f(x, y) Z = (x, y) dapat ditentukan diferensial dan derivasinya sbb: Bila y dianggap konstan, maka Zx = Z/ x. x diferensial Z/ x derivasi. Bila x dianggap konstan, maka Zy = Z/ y. y diferensial Z/ y derivasi.

PENGERTIAN DIFERENSIAL PARSIAL (2) Untuk masing-masing fungsi dapat pula ditentukan derivasi parsial kedua: • fxx = 2 Z/ x 2, dan fyy = 2 Z/ y 2 atau • derivasi y terhadap fx = fxy = 2 Z/ x y dan sebaliknya, • x terhadap fy = fyx = 2 Z/ y x fxy = fyx

Contoh 1 z = 2 xy + 10 y 2 – 12 x + 2000, Diferensial x dan y (total) adalah : Dz = 2 y x + 2 x y + 20 y y - 12 x Derivasi terhadap x, z/ x = 2 y – 12 Derivasi terhadap y, z/ y = 2 x + 20 y

Contoh 2 Misal : Z = 3 x 2 – 8 xy – 6 y 2, maka diferensial dan derivasi untuk masing-masing x dan y : · y konstan Z = 6 x x – 8 y x, Z/ x = fx = 6 x – 8 y, fxx = 6, fxy = -8 · x konstan Z = -8 x y – 12 y y, Z/ y = fy = -8 x – 12 y, fyy = -12, fyx = -8

ELASTISITAS PARSIAL (1) Elastisitas silang suatu permintaan (Ec) adalah suatu pengukuran derajat kepekaan perubahan permintaan barang x akibat perubahan harga barang y dan sebaliknya, jika bila : Qxy = f(px, py) = Qxy , maka ketentuannya adalah : Bila ( Qx/ py) x (py/Qx) dan ( Qy/ px) x (px/Qy) > 0, berarti kategori x dan y saling mengganti (barang subtitusi) contoh barang : kompor gas terhadap kompor minyak tanah.

ELASTISITAS PARSIAL (2) Bila ( Qx/ py) x (py/Qx) dan ( Qy/ px) x (px/Qy) < 0, berarti kategori x dan y saling melengkapi (barang komplementer) contoh barang : kompor gas terhadap gasnya. Bila( Qx/ py)x(py/Qx) >0 dan ( Qy/ px)x(px/Qy) < 0 atau sebaliknya, berarti x dan y tidak saling berpengaruh (saling asing) contoh barang : kompor gas terhadap printer atau sebaliknya.

Diferensial Total (1) Diferensial dan derivasi total dari Z = f(x, y) dinyatakan sebagai : d. Z = Z/ x. dx + Z/ y. dy diferensial karena dy = dy/dx. dx, maka : d. Z = ( Z/ x + Z/ y. dy/dx)dx d. Z/dx = Z/ x + Z/ y. dy/dx Derivasi

Diferensial Total (2) Contoh : Z = x 2 + y 2 dan Y = x 3 d. Z = 2 xdx + 2 ydy d. Z = 2 x + 2 y. dy/dx fy = dy/dx = 3 x 2 d. Z = (2 x + 2 y. 3 x 2)dx diferensial total d. Z/dx = 2 x + 2 y. 3 x 2 derivasi total