Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве

Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. c a, c a a b, a b c/ c a b

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. a b c M C A a. IIb, a c

D № 117. В тетраэдре АВСD ВС АD. Докажите, что АD MN, где М и N – середины ребер АВ и АС. II N А M B C

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a a

Построение прямых углов на местности с помощью простейшего прибора, который называется экер Треножник с экером В Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли. А 1 О

Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.

№ 119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD. По опр. A O С D В

№ 119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. A O С D В

№ 119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. A O С D В

№ 121. В треугольника АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. По опр. К А 12 см 6 см С М 8 см В

№ 121. Еще один эскиз к задаче К 12 см 6 см А С 8 см М В

№ 120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, a сторона которого равна , проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b. По опр. К В b С a O А a D

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a х a a 1

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b a II b

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. b a M a b a II b c b 1

АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. По опр. М 1 В А 3 O С

Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ 1 и СС 1 , СС 1=4, АС 1= АВ 1= , . Найдите ВС. ВВ 1 В С 4 В 1 А С 1 СС 1

Дано: АВС –равносторонний треугольник со стороной О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника. АВСD – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата. М М 1 2 А В В 4 С 4 O O А С 4 4 D

№ 124. Прямая РQ параллельна плоскости. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1. Докажите, что РQ = P 1 Q 1. РР 1 Р Q QQ 1 PP 1 IIQQ 1 P 1 Q 1

ABCD – параллелограмм. BE Доказать: (АВЕ) II (СDF) (ABC), DF (ABC) ВЕ DF Е (АВС) ВЕ II DF F В А (АВС) С D AB II DC (ABЕ) II (CDF)

№ 125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1. Найдите Р 1 Q 1. 15 Р Q РР 1 QQ 1 33, 5 21, 5 P 1 Q 1 По опр. PP 1 IIQQ 1