Перпендикуляр к прямой О а В Отрезок

Перпендикуляр к прямой

О а В Отрезок ОВ называется перпендикуляром, проведённым из точки О к прямой а, если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны. Точка В – основание перпендикуляра.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. А Доказательство. 1. Существование. ∆ AOD = ∆ COD (по первому признаку), В OD – общая сторона, ∠ AOD = ∠ COD, OA = OC. Следовательно, ∠ CDO = ∠ ADO (смежные углы). ∠ CDO = ∠ ADO = АD ⊥ p, т. е. перпендикуляр существует. 90°. О D К С р

2. Единственность. Пусть АD = СD. ∆ ADD 1 = ∆ CDD 1 (по первому признаку), DD 1 – общая сторона, AD = CD, А D 1 ∠ ADD 1 = ∠ CDD 1 = 90°. D Следовательно, ∠ AD 1 D = ∠ CD 1 D. Так как по предположению ∠ AD 1 D = 90°, то ∠ СD 1 D = 90°, ∠ AD 1 C – развёрнутый, C D 1 А и D 1 С составляют прямую, что невозможно. Предположение неверно. Теорема доказана. р

O a

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q. Перпендикуляры МО и NP, проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM, если угол NOP равен 35°. Решение. M N Рассмотрим ∆ MOP и ∆ NPO. OP – общая сторона, МO = NP, ∠ MOP = ∠ NPО = 90°. Следовательно, ∆ MOP = ∆ NPO q (по первому признаку) O Тогда ∠ NOP = ∠ MPO = 35°. ∠ NPО = ∠ NPM + ∠ MPO, NPM = ∠ NPО ∠ MPO. ∠ ∠ NPM = 90° 35°, ∠ NPM = 55°. Ответ: 55°. 35° P