Периодические функции Алгебра и начала анализа, 10 класс (профильный уровень) А. Г. Мордкович, П. Е. Семёнов 2015 -2016 учебный год
Определение 1 Говорят, что функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, если для любого х ∈ Х выполняется равенство f (x – T) = f (x + T). Если функция с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках х + Т, х – Т. Любая функция имеет период, равный нулю при Т = 0 получим f(x – 0) = f(x + 0).
Определение 2 Функцию, имеющую отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, то любое число, кратное Т (т. е. число вида к. Т, к ∈ Z), также является её периодом.
Доказательство Пусть Т – период функции. Тогда f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2 T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2 T). Аналогично доказывается, что f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) и т. д. Итак, f(x - к. Т) = f(x + к. T)
Наименьший период среди положительных периодов периодической функции называется основным периодом данной функции.
Особенности графика периодической функции Если Т – основной период функции y = f(x), то достаточно: - построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т - выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль оси х на ±Т, ± 2 Т, ± 3 Т и т. д. Обычно выбирают промежуток с концами в точках
Свойства периодических функций 1. Если f(x) – периодическая функция с периодом Т, то функция g(x) = A f(kx + b), где к>0, также является периодической с периодом Т 1= Т/к. 2. Пусть функция f 1(x) и f 2(x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами Т 1 > 0 и Т 2 >0. Тогда при Т 1/Т 2 ∈Q функция f(x) = f(x) +f 2(x) – периодическая функция с периодом Т, равным наименьшему общему кратному чисел Т 1 и Т 2.
Примеры 1. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 3 и f(0) =4. Найти значение выражения 2 f(3) – f(-3). Решение. Т = 3, f(3) =f(0+3) = 4, f(-3) = f(0– 3) =4, f(0) = 4. Подставив полученные значения в выражение 2 f(3) – f(-3), получим 8 - 4 =4. Ответ: 4.
Примеры 2. Периодическая функция y = f(x) определена для всех действительных чисел. Её период равен 5, а f(-1) = 1. Найти f(-12), если 2 f(3) – 5 f(9) = 9. Решение Т= 5 F(-1) = 1 f(9) = f(-1 +2 T) = 1⇨ 5 f(9) = 5 2 f(3) = 9 + 5 f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3 T) = f(3) = 7 Ответ: 7.
Используемая литература А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. Алгебра и начала анализа (профильный уровень), 10 класс. Методическое пособие для учителя
Скачать презентацию Периодические функции Алгебра и начала анализа, 10
Периодические функции.ppt