ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Линия пересечения поверхности с

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Линия пересечения поверхности с плоскостью является линией, одновременно принадлежащей поверхности и секущей плоскости Поэтому для ее построения необходимо отыскать такие точки и линии, которые одновременно принадлежат данной поверхности и заданной секущей плоскости Замкнутая фигура, образованная линией пересечения поверхности тела секущей плоскостью, называется сечением

Пересечение проецирующей поверхности с проецирующей плоскостью

Прямой круговой цилиндр занимает горизонтально проецирующее положение

12 Секущая плоскость – горизонтально проецирующая П 3 П 2; П 1 Ф 13 11 k 2 (k. I 2) k. I 3 k. I 1 Ф k. I k k 1 k. I k Пара прямых Ф=k, k. I

Секущая плоскость фронтально- проецирующая β П 2; Ф t 2 t 3 β 2 t 1 β t t эллипс β Ф=t

Ф 2 t 2 β П 2; ℓ 2≡ℓ 2 t 3 I β 2 В 2 С 2≡С 2 I А 2 С 1 I≡ℓ 1 I t 1 t А 1 В 1 t 1 Горизонтальная проекция линии сечения совпадает со следом проецирующего цилиндра, фронтальная – со следом плоскости С 1≡ℓ 1 ≡t 2

Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения прямого кругового цилиндра П 1; П 2 окружность 2 3 эллипс Пара прямых 1

Секущая плоскость фронтально – проецирующая П 2 Призма занимает горизонтально проецирующее положение 2 ≡k 2 3 k 3 t 2 f 2 g 2 2 ≡k 2 f 1 k 1 k 1 g 1 t 1

Пересечение поверхности общего положения с проецирующей плоскостью

Конические сечения (коники)

Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы Именно Аполлоний предложил общепринятые Аполлоний Пергский названия этих кривых; до него 262 год до н. э. их называли просто «сечениями конуса» http: //ru. wikipedia. org/wiki/Файл: Apollonios_of_Perga. jpeg

Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения 1 А 2 2 А 1 11 А 3 1 2 П 1 точка А 1

Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения 23 22 2 21 2 П 1

точка окружность 1 2

Секущая плоскость фронтально – проецирующая 90 о 3 2 33 точка окружность 3 3 31 1 2

90 о точка окружность эллипс 3 1 2

Секущая плоскость фронтальнопроецирующая, параллельная очерковой образующей 42 43 4 П 2; 4 ℓ 2; точка ℓ 2 окружность 2 эллипс 3 // 41 4 1

точка окружность 2 эллипс // // 3 парабола 4 1

Секущая плоскость параллельна оси вращения точка 1 окружность 2 эллипс Гипербола /// // 3 4 парабола 5

Секущая плоскость проходит через ось вращения 5∈ i Пара прямых 5

Задача Построить линию пересечения поверхности тора фронтально проецирующей плоскостью 2 2 А 2 121≡ 12 1 2 В 21≡В 2 2 В 11 221≡ 22 R 21 1 11 1 А 1 2 гм В 1 21 11

Пересечение поверхности общего положения с плоскостью общего положения

Обе проекции искомой линии пересечения строятся в плоскостях П 1 и П 2, с использованием метода секущих плоскостей или способом замены плоскостей проекций

Алгоритм решения задач на пересечение поверхности общего положения с плоскостью общего положения 1. Поверхность и плоскость пересекают вспомогательной плоскостью посредником . 2. Находят линию пересечения плоскостипосредника с поверхностью Ф: n = Ф . 3. Находят линию пересечения плоскостипосредника с заданной плоскостью : MN = . 4. Отмечают точки, в которых эти линии пересекутся: 1, 2 – MN n Точки 1 и 2, являясь общими для данных поверхности и плоскости будут точками искомой линии пересечения. 5. Для построения линии пересечения необходимо найти еще ряд точек (3, 4, 5…), используя плоскости-посредники

S 3 S 1 2 3 ВТ 2 ( ) очерк ВТ 3 НТ 2 1 S ВТ 1 S 2 НТ 1 Главный меридиан П 3 1

f 2 гм П 2≡f 1 f 3

12 гм 22 13≡ 23 11 1 2 21 2 1

Ф 2 ВТ 2 2 3 ВТ 3 2 2 2 НТ 3 MN 2 НТ 2 1 MN 1 ВТ 1 НТ 1

А 2 Задача S 2 ί 2 f 2 C 2 B 2(h 2)≡ox G 2 (ВТ ) 2 21 2 z 22 12 Х 1, 2 Х П 1, 4 П 1 П 2 П 1 С 2 // А 1 G 1 гм В 2 В 1 z 11 1 Q 1 ВТ 1 // ί 1 21 R S 1 24≡ 214 гм С 1 НТ 4 С ≡B 1 4 4 2 4 4 h 1 f 1 НТ 1 11 14≡ 114 ВТ 4 11 2 Q 2 НТ 2 h 2 21 1 4 А 4 гм П 2≡f 1 П 1 П 4

Пересечение прямой с поверхностью Алгоритм 1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость – посредник 2. Находят линию пересечения поверхности с плоскостью - k 3. Отмечают точки пересечения прямой АВ с линией k, точки 1 и 2 Количество точек пересечения прямой с поверхностью определяет порядок последней

Поверхность занимает проецирующее положение, прямая общего положения

2 3 1 11 21 31 Поверхность третьего порядка

Поверхность занимает общее положение, прямая общего положения

2 3 1 11 21 31 31 Поверхность третьего порядка