ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1. Способ вспомогательных секущих плоскостей. 2. Способ концентрических сфер. 1
9 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Задачу построения линии пересечения двух поверхностей часто называют пятой позиционной задачей. Задача имеет большое практическое значение не только для построения изображений изделий, но и для их производства. В общем случае решение этой задачи может быть сведено к предыдущей, т. е. искомая линия пересечения определяется как множество точек пересечения линий каркаса первой поверхности F со второй поверхностью U (рис. 9. 1). Последовательно перебирая образующие ℓ 1, ℓ 2, . . ℓi каркаса ℓ 1 одной поверхности, необходимо найти точки А, В, . . . С, в которых эти образующие пересекаются со второй ℓ 2 A поверхностью. F Реализация этой методики связана с трудоемкими B построениями на эпюре, которые в некоторых случаях U удается избежать. C Для построения линий пересечения поверхностей в общем случае применяют метод посредников. В зависимости от ℓi формы посредников различают способы построения линий пересечения: • Способ вспомогательных плоскостей; • Способ концентрических сфер; • Способ эксцентрических сфер; • Способ цилиндров; • Способ конусов. Остановимся на двух первых. Рис. 9. 1 секущих 2
9. 1 Способ вспомогательных секущих плоскостей Этот способ рекомендуется применять в том случае, когда сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямые линии и окружности. Также применяется способ вспомогательных секущих плоскостей в случае, когда одна из пересекающихся поверхностей - гранная. Разберем пример пересечения сферы с четырехгранной призмой. Нетрудно видеть, что грани призмы перпендикулярны фронтальной плоскости проекций, следовательно, всякая линия граней, в том числе и линия пересечения поверхностей, совпадает с фронтальным очерком призмы. Очевидно, в этом случае удобнее вспомогательные секущие плоскости выбрать ортогональными плоскости П 2. Например, через точки А, В, С. В 2 А 2 С 2 Каждая грань призмы пересекает поверхность сферы по дуге окружности, которые пересекаются между собой в точках встречи ребер призмы с полусферой. Задача сводится к построению точек пересечения ребер и линий пересечения граней многогранника с поверхностью сферы. 3
9. 2 Пересечение соосных поверхностей вращения Прежде чем рассматривать метод сфер, разберем подводящую задачу на пересечение соосных поверхностей вращения. Если оси поверхностей вращения совпадают, то линиями их пересечения могут быть только общие параллели (окружности), которые описывают точки пересечения меридианов заданных поверхностей (рис. 9. 3). Это точки: М и N, D и С, К и L. MN, DC, LK - линии пересечения поверхностей вращения со сферой. На эпюре (рис. 9. 4) построим линии пересечения соосных поверхностей. M 2 N 2 D 2 М N D K 2 K С C 2 L Рис. 9. 3 Рис. 9. 4 4
9. 3 Способ концентрических сфер Особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве вспомогательных секущих поверхностей использовать сферы, соосные с данными поверхностями. Способ получил название - способ концентрических сфер (рис. 9. 5). Для использования вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий: 1) Пересекаются две поверхности вращения; 2) Оси поверхностей вращения пересекаются; 3) Пересекающиеся оси поверхностей образуют плоскость уровня или проецирующую плоскость. Обозначим характерные точки. S S Решение: Соединим полученные точки с учетом видимости. 12 22 42 32 31 Рис. 9. 5 21 11 41
9. 4 Частные случаи пересечение поверхностей Теорема (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через отрезок прямой, соединяющий точки касания. На рис. 9. 6 приведен пример применения этой теоремы. Рис. 9. 6 6
Теорема Г. Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. В соответствии с этой теоремой линии пересечения цилиндра и конуса, описанных около сферы (рис. 9. 7), будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми А 2 В 2 и С 2 D 2. AB , CD Теорема Монжа находит эффективное применение на практике, например, при конструировании трубопроводов. Возможность вписывать сферы в цилиндры (рис. 9. 8) одинакового диаметра позволяет быстро запроектировать их пересечение. В 2 β 2 С 2 D 2 α 2 А 2 Рис. 9. 7 Рис. 9. 8 7
Рекомендуемая литература Основная литература 1. Соломонов К. Н. , Чиченёва О. Н. , Бусыгина Е. Б. Основы начертательной геометрии. -М. : МИСи. С, 2003. 2. Чекмарев А. А. Инженерная графика. М. : Высшая школа, 2000. 3. Горетый В. В. Начертательная геометрия. Конспект лекций. Учебное пособие. – Ст. Оскол, ООО «ТНТ» , 2009. 4. Горетый В. В. Начертательная геометрия. Практикум. – Ст. Оскол, ООО «ТНТ» , 2008. 5. Горетый В. В. Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь. – Ст. Оскол, ООО «ТНТ» , 2008. 6. Сборник «Национальные стандарты» . ЕСКД. ГОСТ 2. 301 -68 2. 321 -84. -М. : ИПК Издательство Стандартов, 2008. Средства обеспечения освоения дисциплины 1. Пакет Auto. CAD, Компас 3 D, Симплекс. 2. Курс лекций, созданный с использованием графического редактора «Power Point « и средств Internet. 8
Скачать презентацию ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1 Способ вспомогательных секущих плоскостей 2
Лекция 9.ppt