Передаточные функции линейных САУ Структурная схема одноконтурной САУ

Передаточные функции линейных САУ Структурная схема одноконтурной САУ f W 3(p) g W 2(p) W 1(p) y Woc(p) • Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию

• Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию • Передаточная функция разомкнутой цепи • Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию

Иначе , где характеристический полином САУ полином числителя этой передаточной функции • Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию

УСТОЙЧИВОСТЬ САУ Понятие устойчивости линейных непрерывных САУ Система называется устойчивой, если: • после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние • после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние Пусть передаточная функция замкнутой по какому-либо из воздействий САУ имеет только n простых полюсов, т. е. корней характеристического уравнения тогда при подаче на её вход единичного ступенчатого воздействия переходная функция будет иметь вид

где – установившаяся (вынужденная) составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины – свободная составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса Пусть полюсы ПФ – комплексные, т. е.

• Если , то свободная составляющая будет затухать • Если , то будут иметь место расходящиеся колебания Таким образом, общим условием затухания всех составляющих является отрицательность вещественных частей всех полюсов передаточной функции САУ. Если хотя бы один полюс имеет положительную вещественную часть, переходный процесс будет расходящимся и система будет неустойчивой • Иначе, необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является расположение всех полюсов ее передаточной функции в левой комплексной полуплоскости

Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости Im(p) pn-1 p p 2 p 4 pn p 1 Re(p) p 3 Параметры, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными

Критерии устойчивости САУ Правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней, называются критериями устойчивости Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости К алгебраическим критериям относятся • Критерий Гурвица • Критерий Рауса-Гурвица К частотным критериям относятся • Критерий Михайлова • Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Гурвица Пусть задан характеристический полином САУ Определитель Гурвица (составлен по следующим правилам):

• в диагональ определителя вносятся коэффициенты, начиная с и заканчивая ; • в столбцы вписываются остальные коэффициенты, причем вверх от диагонали индекс коэффициентов уменьшается на единицу, а вниз – уменьшается на единицу; • оставшиеся свободные места в столбцах заполняются нулями Система будет устойчива, если определитель Гурвица будет положителен Если , то где главный минор определителя Гурвица

Таким образом • САУ устойчива при • САУ неустойчива при • САУ находится на границе устойчивости при Частные случаи систем

• 1. Определитель Гурвица устойчива • 2. Определитель Гурвица и система всегда и система также всегда устойчива • 3. Главный минор определителя Гурвица система может быть устойчивой или неустойчивой

Вывод – с повышением порядка систем вероятность их неустойчивости возрастает Критерий устойчивости Михайлова Пусть задан характеристический полином САУ Заменим в нём оператор Лапласа р на переменную тогда получим Кривая, которую описывает радиус- вектор функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется годографом Михайлова

Система устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно квадрантов комплексной плоскости, где n- порядок системы II Y( ) I II X( ) 0 III a 0 X( ) IV 0 III a 0 IV Y( ) 0 III I X( ) a 0 IV САУ устойчива САУ неустойчива САУ на границе устойчивости

На границе устойчивости Расчетные выражения для граничных параметров, полученные по критериям Гурвица и Михайлова, совпадают. Физический смысл величины – это частота собственных колебаний системы на границе устойчивости

Критерий устойчивости Найквиста Позволяет оценить устойчивость замкнутой САУ по ее разомкнутой цепи В передаточной функции производят замену оператора р на переменную j и на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности строят АФЧХ (годограф Найквиста) Если разомкнутая цепь устойчива (а это всегда имеет место, если САУ не содержит неустойчивых неминимально фазовых звеньев), то формулировка критерия Найквиста звучит следующим образом

• Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста при изменении от нуля до бесконечности не охватывал точку с координатами (-1, j 0) Im. W(j ) -1 0 Im. W(j ) Re. W(j ) =0 САУ устойчива Im. W(j ) Re. W(j ) -1 0 = 0 -1 Re. W(j ) 0 =0 САУ неустойчива САУ на границе устойчивости

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. Это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т. е. ), то замкнутая САУ становится неустойчивой На границе устойчивости Частота , соответствует повороту радиус-вектора АФЧХ разомкнутой цепи на угол - и называется частотой переворота фазы или частотой Найквиста

Оценка устойчивости САУ по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости Если годограф АФЧХ не охватывает точку с координатами (-1, j 0) то при частоте, на которой , абсолютное значение фазы меньше -. Но значение соответствует Поэтому для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение -. Однако ЛАЧХ равна нулю на частоте среза , а на частоте переворота фазы. Следовательно, система будет абсолютно устойчива, если

G( ) 20 lg. Kp 3 САУ устойчива САУ на границе устойчивости 20 lg. Kp 2 20 lg. Kp 1 САУ неустойчива 0 ( ) 0 cp 1 cp 2 π cp 3 lg lg

В ряде случаев АФЧХ дважды пересекает отрицательную вещественную полуось при частотах и. Эта ситуация характерна для условно устойчивых систем G( ) 20 lg. Kp 3 20 lg. Kp 2 20 lg. Kp 1 0 ( ) 0 САУ условно устойчива САУ неустойчива САУ абсолютно устойчива cp 1 cp 2 cp 3 lg π1 π2 lg

Система будет устойчивой, если все частоты переворота фазы больше частоты среза или если ее ЛФЧХ до частоты среза принимает значение четное число раз

Запасы устойчивости • Запас устойчивости по амплитуде (модулю) определяется величиной допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости: • Запас устойчивости по фазе определяется величиной, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза , чтобы система оказалась на границе устойчивости. Обычно рассчитывается в градусах

G( ) Im. W(jω) cp 0 ΔA ΔG lg А(ω ) ( ) π 0 Δφ lg -1 Δφ 0 А(ωπ) Re. W(jω)