Педагогический совет Совместная работа школы 538 и Центра

Педагогический совет: «Совместная работа школы 538 и Центра информационной культуры по развитию системы углубленного изучения информационных технологий в свете реализации идей, залаженных в Национальном проекте “Образование”» . Доклад учителя математики школы № 538 с углубленным изучением информационных технологий Хробостовой Ирины Владимировны. С-Петербург, 2006 г.

6 класс «Прямоугольная система координат на плоскости» (урок - дидактическая игра).

КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ или игра в координатах: «Где зарыт клад? »

Y 4 А (-3; 3) В (4; 3) 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 1 2 3 -1 -2 Е (-3; -2) -3 -4 С (2; -2) 4 5 X

Y 4 N В O 3 С R 2 1 X Е -6 -5 А -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 D M -2 -3 -4 K P F

В 3 С P=4 AB P=4. 3=12 S=AB 2 А D S=32=9

Y 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 X

Y 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 2 -4 1 2 3 4 5 X

(1; 2) (0; 4) (-3, 5; 2, 5) (4; 3) (-0, 5; 3) (-5; 2) (6; 5) (-2; 2) (6; 6) (-6; 6) (4; 0, 5) (5; 5, 5) (-6; 5) (6; 0) (5; 6) (-5, 5; 4) (5; 0, 5) (4; 5, 5) (-5, ; 4) (5; 1) (4; 6) (-5; 3, 5) (4; 1) (3; 5) (-4; 3, 5) (1; 2) (3; 5, 5) (-4; 3) (4, 5; 0, 7)- глаз

Y 6 5 4 3 2 1 X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 6

10 класс «Скрещивающиеся прямые» .

Пересеченье двух миров В какой произойдет момент? А вдруг на стыке двух орбит Нет обозначенных планет? ! Автор: учитель математики шк. № 538 Хробостова И. В.

Ребята! Сегодня мы с вами выходим в открытое пространство. Объект изучения – скрещивающиеся прямые. Вы конечно помните, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Давайте посмотрим какими еще интересными свойствами обладают скрещивающиеся прямые.

a g a b Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

c a a A М g B b Через точку, не лежащую на данных параллельных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые.

c a a A g B b У всяких двух скрещивающихся прямых имеется общий перпендикуляр.

A a B a b Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми.

Теперь вы догадываетесь, какие интересные конструкции можно составлять из скрещивающихся прямых. Без скрещивающихся ребер нет и многогранника. Рассмотрим несколько моделей различных многогранников.

Вы видите пары скрещивающихся ребер.

B 1 A 1 М C 1 D 1 C B А АС и В 1 D 1– орбиты звездолетов, а точка М - это межпланетная станция. Надо произвести запуск звездолета по космическому тоннелю так, что бы тоннель проходил через точку М и пересекал орбиты. * D *Требуется построить прямую линию, пересекающую две скрещивающиеся прямые и проходящую через точку М.

B 1 A 1 М D 1 C B А О 2 C 1 О 1 Искомая прямая проходит через точку М и прямую АС, Прямая О Опрямуюпроходит поэтому В 1 D 1 М плоскостьчто бы Продолжим и и О 1 искомая Через точки находится в Прямая она 2 и есть АС, АА 1 С 1 С пересекаются 1 точке плоскости 1 точкуили 1. в. С 1 С. построить МАС МОАА искомая прямая пересечения прямая. Кроме того, 1 и АС. Прямые прямых МО она должна О 1. пересекать прямую В 1 D 1. и, пересекаются в точке О 2 следовательно, задача сводится к построению точки пересечения прямой В 1 D 1 и плоскости АА 1 С 1 С. Строим сечение АА 1 С 1 С. D Построение Пуск

М B 1 C 1 D 1 A 1 C B А Надо произвести запуск космического звездолета с межпланетной станции (точка М), таким образом, что бы он пересек орбиты В 1 D 1 и АС за минимально короткое время. Постройте траекторию движения звездолета. * D *Требуется построить прямую линию, проходящую через точку М и пересекающую две скрещивающиеся прямые.

B 1 C 1 D 1 А 1 B А C D К АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – космическая станция, имеющая форму куба. Требуется найти расстояние между АА 1 и В 1 D, если ребро куба равно а.

А теперь попробуйте выполнить следующие задания. 1. Каково взаимное расположение прямых АС и B 1 D 1? B 1 А 1 М D 1 B А C 1 C D 2. Пусть дана точка М, не лежащая ни на одной из скрещивающихся прямых и лежащая в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1. Можно ли построить прямую, проходящую через эту точку и пересекающую обе скрещивающиеся прямые? 3. Каково расстояние между прямыми АС и В 1 D 1 , если ребро куба равно а? 4. Постройте общий перпендикуляр для прямых АС и B 1 D 1?

8 класс «Теорема Виета, разложение на множители квадратного трехчлена» .

Теорема Виета. Разложение на множители квадратного трехчлена.

Т 1 а. X 2+b. X+c=0 2 m. X 2+c=0 3 X 2+р. X+q=0 4 р. X+q=0 5 X 2+р. X=0 2

Т X 2+р. X+q=0 Теорема Виета: если X 1 и X 2 - корни приведенного квадратного уравнения X 2+р. X+q=0 то, их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: X 1+X 2= - р, а произведение равно свободному члену X 1 X 2= q. 3

1 Если X 1 и X 2 - корни приведенного квадратного уравнения x 2+px+q=0, то справедливы формулы: x 1+x 2= p x 1 x 2= q x 1+x 2= -p x 1 x 2= -q 4

2 3 x 2 - 6 x -12= 0 3 -6 x 2 - 2 x - 4=0 Приведенное уравнение: Коэффициенты: Сумма корней: Произведение корней: -12 1 -2 -4 5

3 Составьте приведенное квадратное уравнение по его корням: X 1= -1, X 2=8. Сумма корней: X 1+X 2= 7 Произведение корней: Коэффициенты: X 1 X 2= - 8 1 -7 -8 x 2 - 7 x - 8=0 x 2 - 7 x + 8=0 x 2 + 7 x - 8=0 6

5 Найдите второй корень уравнения x 2+4 x-21=0 , если один из корней равен X 1= - 7 Произведение корней: X 1 X 2= -21 x 2 = -3 x 2 =14 8

Т Обратная теорема Виета Пусть числа р и q такие, что X 1+X 2= -р; X 1 X 2= q тогда: X 1 и X 2 корни уравнения X 2+р. X+q=0 9

7 Решите уравнение: x 2 -9 x +14 =0 Сумма корней: X 1+X 2= 9 Произведение корней: X 1 X 2= 14 -7; 2 -7; -2 11

Т Разложение на множители квадратного трехчлена. Если X 1 и X 2 корни квадратного уравнения ax 2+bx+c=0, то при всех X справедливо равенство: ax 2+bx+c=a(x - x 1)(x - x 2) 13

9 Сократить дробь: 1 =а 2 =а 3 4 = а+1 =? 14

10 ax 2+bx+c=a(x - x 1)(x - x 2) Найдите ошибку: 1 x 2 -7 x+10=(x - 5 )(x - 2 ) ВЕРНО ОШИБКА X 1 =5, X 2 =2 2 X 1 = - 3, X 2 =4 x 2 - x -12=(x + 3 )(x - 4 ) - 3 ? X 1 = - 7, X 2 = - 4 x 2 +11 x +28 = (x +7 )(x + 4) 15

11 Разложите на множители : x 2 +12 x -28 Корни уравнения: X 1+X 2= -12 X 1 X 2= -28 x 2 +12 x -28=0 X 1= -14 X 2= 2 (X-14)(X- 2) (X+14)(X-2) (X-14)(X+2) 16

! Сократите дробь : 1 а 1= 5 ; а 2= 6 2 а 1= 7 ; а 2=5 20

! Сократите дробь : 3 Ответ: 21

Домашнее задание : 1) № 458(2, 4, 6), 461(2, 4) 2) задание на карточке. Спасибо за урок! 22

10 класс «Тригонометрическая окружность» .

2 3 3 4 5 6 p p p 2 p 900 3 600 1200 00 3600 1800 7 6 3300 2100 p p 2250 3000 2400 4 3 p Автор: учитель математики шк. № 538 Хробостова И. В. 3 2 2700 p 5 3 p 0; 2 p p 11 6 3150 5 4 p 6 300 1500 p 4 450 1350 p p 7 4 p

Ты уже знаком с градусной мерой измерения углов. В математике и физике часто пользуются так же радианной мерой. Для того, чтобы познакомиться с таким способом измерения углов и дуг рассмотрим окружность радиуса R. Построим угол МОР, такой что дуга МР, на которую он опирается, равна радиусу R окружности. МР = R М Величина угла МОР равна 1 радиану. 360 0 = 180 0 1 рад = p 2 p R R 1 радиан О R Р запиши p = 3, 1459… 1 рад. МР МОР 57 017’ 57017’ =1 рад. 57017’ = 1 рад.

Окружность, радиус которой равен 1, называется единичной. p = 3, 1459… Y Построим две взаимно перпендикулярных оси: ось абсцисс и ось ординат. Ты помнишь, что длина окружности выражается формулой : p 2 М p А N p 3 l = 2 p R, где R – радиус окружности. Длину единичной окружности удобно измерять в радианах, т. к. p В 4 p С 6 Р 0 2 p если R=1, то: X 3 2 p (рад. ) Тогда длина дуги половины окружности равна: p (рад. ) p К l = 2 p (рад. ) - четверть длины окружности, 2 3 p (рад. ) - три четверти длины окружности. 2 Наименование радиан обычно опускают. Точки М, Р, К, N – назовем узловыми. Отметим так же точки: А, В, С.

Рассмотри рисунки 1 и 2 единичной окружности. Из рисунков видно, что величину угла поворота шарика вокруг точки О, а так же величину дуги единичной окружности, можно задавать двумя способами: II четверть 900 I четверть p II четверть 600 3 450 О p 00 2700 IV четверть О Рис. 1 0 2 p 3 p 2 III четверть p 6 3600 III четверть p 4 300 1800 I четверть p 2 IV четверть Рис. 2 Теперь можно составить таблицу измерения углов в градусной и радианной мерах. Выучи! Градусная мера 00 Радианная мера 0 300 450 600 900 1800 p p 6 4 3 2 p 2700 3 p 2 3600 2 p

Рассмотри, как можно установить соответствие между множеством действительных чисел на числовой прямой и точками единичной окружности. p = 3, 1459… Y π 2 2 Координатный луч с началом в точке 0 «намотаем» , как нить, на окружность сначала в положительном направлении – против хода часовой стрелки, потом в отрицательном направлении – по ходу часовой стрелки. Щелкни для этого точку. 1 7 π 2π 3 p 0 6 4 3 p 2 2 1 3 p 2 3 4 2π 5 6 Х 7 5 Понятно, что «наматывание» можно продолжать бесконечно.

• При рассмотрении единичной окружности удобно использовать радианную меру, т. к. при этом числа, выражающие длину дуги и длину окружности кратные числа. • Каждой точке окружности соответствует не одно, а бесконечное множество действительных чисел. • Каждому числу на окружности соответствует одна (единственная) точка. p + 2 p = 5 p Например, точке М, кроме числа p , 2 2 p ( - 11 p ) ( 92 ) 2 p p ( - 72 ) ( 52 ) (- 3 p ) p 2 2 900 М (-p) p p 3 2 p 600 4 0 45 300 соответствуют числа : p 6 00 0 1800 N Р 2 p (-2π) p + 4 p = 9 p 2 2 p -2 p =- 3 p 2 2 p - 4 p = - 7 p 2 2 p - 6 p = -11 p 2 2700 К (- π ) 3 p 2 2 Задание выполни письменно! -Назови, кроме отмеченных, еще по одному положительному и отрицательному числу, которые соответствуют выделенным точкам окружности. 2

Будем рассматривать все точки единичной окружности как точки, полученные поворотом точки Р 0 вокруг начала координат на некоторый угол. a 0 = 600 (Р 0 Щелкни по точке Рt Рt). Рt Проследи, как будет меняться угол поворота для точки Рt : 1 поворот: 600 + 3600 = 4200 600 (4200) (7800) (11400) a 2 поворот: 600 + 2. 3600 = 7800 3 поворот: 600 + 3. 3600 = 11400 * * * * Р 0 k поворот: 600 + k. 3600 Для точки Рt все углы поворота можно записать так: запиши a = a + 360 k , где k = ± 1, ± 2 , ± 3 ±. . . или в радианной мере: a = a + 2 p k , где k = ± 1, ± 2 , ± 3 ±. . . 0 0 0

Найди ошибку в записи чисел, соответствующих выделенным точкам единичной окружности. a = a + 2 p k Задание выполни письменно! 5 p + 2 p k, k Î Ζ 6 3 4 5 6 p π+ 2 πk, k Î Ζ p 7 6 3 p - 4 +2 p k, k Î Ζ 0 2 3 p p 900 1200 3 600 p 4 450 1350 1500 300 1800 5 4 p p +2 p , kÎΖ 6 6 0 2 πk , k Î Ζ Щелкни по точке. 2 p 3600 2100 p p p 3300 3150 2250 4 3 ± 1, ± 2 , ± 3 ±. . . p p 2 + 2 p k, k Î Ζ p 2 00 p , где k = 2400 2700 3000 3 2 - p 5 3 p 11 6 7 4 p Если запись неверна, сделай верную запись. p + p k, k Î Ζ 2 4 3 p + kÎΖ 2 2 p k,

3 4 5 6 p p 2 3 p p p 900 p 2 1200 -Найди на единичной окружности точки, соответствующие числам: 3 600 p 4 450 1350 1500 300 p 6 0 00 1800 7 6 p 5 4 2100 p 2 p 3600 3150 2250 4 3 p p 3300 2400 2700 3000 3 2 p 5 3 p 11 6 7 4 p Щелкни по точке. π + 2π 3 3π +6π 2 4π - 5π 4 π - 2π 6 _ 8π 3 π -3 2 8π 3 7π 3

10 класс «Правильные многогранники» . 11 класс «Иррациональные уравнения» .

1. Вводим понятие симметрии относительно точки, прямой и плоскости. Рассматриваем различные пространственные фигуры, имеющие симметрию. 2. Вводим понятие правильного многогранника и рассматриваем 5 видов правильных многогранников. Рассматриваем их элементы симметрии.

3. Вводим понятие двойственности. Выполняем построение: задан куб, построить октаэдр.

4. Решить задачу: По поверхности октаэдра с ребром 1 ползет муха. Найти длину кратчайшего пути мухи, если ей надо проползти из середины одного ребра до середины противоположного ему ребра. 5. Выполнить самостоятельно построение: Дан правильный тетраэдр. Середины его ребер соединить так, что бы получился правильный многогранник. Определите вид многогранника и докажите, что он правильный. 6. Рассмотреть некоторые элементы симметрии в архитектуре, продемонстрировать молекулу метана, имеющую вид правильного тетраэдра. Домашнее задание. Выполнить построение: дан октаэдр, построить куб, используя понятие двойственности.

7 класс «Треугольник» .

Тема проекта: Изучаем треугольник. Треугольник был символом геометрии в течение двух с половиной тысяч лет; но кроме этого треугольник - атом геометрии. Основополагающий вопрос: Почему треугольник считают символом геометрии?

Проблемные вопросы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Какую роль в истории геометрии играет треугольник? Почему у треугольника три стороны? Как с помощью листа бумаги без линейки и карандаша можно изучать свойства треугольника? Какие конструкции можно составить из треугольника на плоскости, в пространстве? Жестко ли спать на треугольнике? Как свойства треугольника используется в строительстве и архитектуре? Что говорят о треугольнике поэты и писатели? Какие загадки прячутся в треугольнике?

О проекте. Проект ориентирован на изучение темы «Треугольник» 7 класс. Основополагающий вопрос: Почему треугольник считают символом геометрии? Цель проекта: сформировать умение поставить исследовательскую задачу и наметить пути ее решения, способствовать развитию интереса к изучению математики, научиться применять новые компьютерные технологии, обрабатывать и обобщать полученную информацию в ходе проведения исследований. Методические задачи проекта: изучить свойства треугольника, научиться устанавливать связи между различными геометрическими фигурами, развить пространственное и логическое мышление. Учебные предметы, которые охватывает проект: геометрия, алгебра, история, литература, информатика. Время реализации проекта: 1, 5 – 2 месяца.

Этапы проекта: 1. Вводный урок на котором объясняется идея проекта, обсуждаются проблемные вопросы и выдается задание для самостоятельной работы. 2. Самостоятельный поиск информации по материалам проекта (3 -4 недели). 3. Обсуждение полученной информации на уроках, работа в группах (2 урока). 4. Оформление результатов работы в виде реферата, презентации. 5. Оценка результатов работы в виде защиты рефератов, тестов.