ПАРЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ Выполнила Студентка 25 Ми КН

ПАРЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ Выполнила: Студентка 25 Ми. КН 123 -2 Немирова Анастасия

ПАРЫ ФОРМ Пусть дана пара действительных квадратичных форм от n неизвестных, f(x 1, x 2, …, xn) и g(x 1, x 2, …, xn). Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных x 1, x 2, …, xn , которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду? В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм f(x 1, x 2)=x 12 g(x 1, x 2)=x 1 x 2 Пусть существует невырожденное линейное преобразование x 1=c 11 y 1+c 12 y 2 x 2=c 21 y 1+c 22 y 2 приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма f могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду, один из коэффициентов c 11, c 12 должен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое 2 c 11 c 12 y 1 y 2. Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных y 1 y 2, можно положить, что c 12=0 и поэтому c 11≠ 0. Мы получим теперь, однако, что g(x 1, x 2)=c 11 y 1 (c 21 y 1+c 22 y 2)=c 11 c 21 y 12+c 11 c 22 y 1 y 2 Так как форма g также должна была перейти в канонический вид, то c 11 c 22=0, т. е. c 22=0 , что вместе с c 12=0 противоречит невырожденности указанного линейного преобразования. Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например g(x 1, x 2, …, xn) , является положительно определенной.

ТЕОРЕМА Если f и g пара действительных квадратичных форм от n неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму g к нормальному виду, а форму f к каноническому виду.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных x 1, x 2, …, xn , X=TY приводящее положительно определенную форму g к нормальному виду, g(x 1, x 2, …, xn)=y 12+y 22+…+yn 2 Форма f перейдет при этом в некоторую форму φ от новых неизвестных, f(x 1, x 2, …, xn)= φ(y 1, y 2, …, yn) Совершим теперь ортогональное преобразование неизвестных y 1, y 2, …, yn , Y=QZ приводящее форму φ к главным осям, φ(y 1, y 2, …, yn)= λ 1 z 12+λ 2 z 22+…+λnzn 2 Это преобразование переводит сумму квадратов неизвестных y 1, y 2, …, yn в сумму квадратов неизвестных z 1, z 2, …, zn (что следует из формулы B=Q-1 AQ). В результате мы получаем f(x 1, x 2, …, xn)= λ 1 z 12+λ 2 z 22+…+λnzn 2 g(x 1, x 2, …, xn)= z 12+z 22+…+zn 2 т. е. линейное преобразование X=(TQ)Z является искомым. □