Скачать презентацию Parametrical modeling of complex surfaces and fabric materials Скачать презентацию Parametrical modeling of complex surfaces and fabric materials

e84889f32aeb36ac84e80bfd4831a4fd.ppt

  • Количество слайдов: 135

Parametrical modeling of complex surfaces and fabric materials in clothes designing Parametrical modeling of complex surfaces and fabric materials in clothes designing

3 D Construction of base three-dimensional model of product SBМ (s, P) the given 3 D Construction of base three-dimensional model of product SBМ (s, P) the given form {s} and the fixed metric characteristics {P}, adequate(answering) to average values of objects of the given class. Parametrization of base model SMU (s, P, U), providing opportunity of generation of individual models with given parameters U*: SMU* (s, P, U*), and the best conformity to the prototype. 3 D -> 2 D Splitting of a three-dimensional surface into separate segments SMi (si, Pi, Ui*), development (display) of three-dimensional segments (designing of preparations): S= S, S, . . . , SN 2 D Accommodation of flat elements on a sheet, in a strip, generally, in inconsistent areas of the any form. Designing of cards (maps) opening a raw material: R=(R 1, . . . , RK) Construction of a route of movement nesting the tool for each card(map) opening R, manufacturing of preparations providing the least labour input 2 D -> 3 D Modelling of assemblage of an initial three-dimensional surface from flat preparations 3 D Visualization of results of designing, modelling of conditions of functioning of a projected product

Parametric modeling 3 Parametric modeling 3

The Basic Idea O B J E C T Get more detail object with The Basic Idea O B J E C T Get more detail object with TIS method

Using TIS interpolation for spatial data reducing Using TIS interpolation for spatial data reducing

Abstract • Reduction of data array size is necessary for geometric shape reconstructing. For Abstract • Reduction of data array size is necessary for geometric shape reconstructing. For storing this spatial data with the least losses algorithm of geometrical interpolation is used. The Interpolation Algorithm by Trigonometric Interpolation Sums (TIS) gives the good fitting for complex objects like anatomical structures (body shape). • This algorithm can be used then the initial parameterization is implicitly known.

Interpolation algorithm Parameterization • Let M is the initial geometric structure. We need to Interpolation algorithm Parameterization • Let M is the initial geometric structure. We need to solve the parametric representation of M. Usually this parameterization is given implicitly. • However it easily to define the correspondence between bounded set of nodes K(N 1, …, Np) and M, i. e. to give the parameterization values (x(u), y(u), z(u)) on discrete nodes k of set K(N 1, …, Np). • The interpolation of each coordinate function X(u), Y(u) и Z(u) can be reached by using the approximation throw TIS technique which describes in next slide. • The bound of approximation error provides that the что approximate parameterization (X(u), Y(u), Z(u)) converge to exact according as increasing the number of nodes.

The initial data On each layer some points The initial data On each layer some points

Examples Human body representation with grid • There are some examples of algorithm implementations Examples Human body representation with grid • There are some examples of algorithm implementations then human body was interpolated. • The initial data points are presented on the left picture. • The result of TIS interpolation on the right picture.

Examples Human body representation n There are some examples of interpolation with different level Examples Human body representation n There are some examples of interpolation with different level of detail (number of resulting set points).

21 level, 13 point 21 level, 25 point 31 level, 37 point 21 level, 13 point 21 level, 25 point 31 level, 37 point

13 13

Compression of geometric information of complex objects using parametric presentation Compression of geometric information of complex objects using parametric presentation

Problem of complex objects • On the other hand there is no simple method Problem of complex objects • On the other hand there is no simple method to describe complex objects in the same manner. We can read parameters, but we can’t create the object on their basis. Thus, we are forced to use uncompressed (raw) data for such objects. Stature: 170 cm Chest: 88 cm Hips: 92 cm

Problem of complex objects (cont. ) • In this case each object with new Problem of complex objects (cont. ) • In this case each object with new parameters must be created manually or received from external sources.

Problem solving • The main purpose consists in creating a method for generating complex Problem solving • The main purpose consists in creating a method for generating complex objects defined by parameters, as in the case with simple objects. This will compress a class of complex objects into a small number of parameters.

General idea of the method • The main idea consists in applying a deformation General idea of the method • The main idea consists in applying a deformation to a base model of the object until it will satisfy new parameters (=constraints). • А base (prototype) model performs a role of a keeper of the object class form. All generated models also will have the same geometric structure as the base model. • The base model consists of individually deformable parts, e. g. layers. Each part has individual deformation coefficients.

. Calculation of some parameters on mannequin model (external and internal parameters) . Calculation of some parameters on mannequin model (external and internal parameters)

Main stages • Determination of information about structure of surface of object • Choice Main stages • Determination of information about structure of surface of object • Choice of parameters of object • Building of surface • Visualization of results

Object generation method • Criterion function consists of two parts: 1) deformations value, which Object generation method • Criterion function consists of two parts: 1) deformations value, which represents the difference between the base and current object; 2) penalty function, which represents the difference between required parameters and current parameters of the object. • A minimum of this criterion function and the values of deformation coefficients in the first part of the criterion function at the minimum will generate an object which will satisfy the parameters set and the deformation applied to the object will be as small as possible. • The deformation coefficients can be for example coefficients of affine deformation.

Information about structure of surface of object Horizontal layers information about structure of surface Information about structure of surface of object Horizontal layers information about structure of surface of object

Information about structure of surface of object Horizontal layers (Base model) main layers auxiliary Information about structure of surface of object Horizontal layers (Base model) main layers auxiliary layers Base model

Parameters of object Parameters • Heights of layers Measurement: heights of anthropometrical points Parameters of object Parameters • Heights of layers Measurement: heights of anthropometrical points

Parameters of object Parameters • Girths of layers Measurement: lengths of layer’s convex hulls Parameters of object Parameters • Girths of layers Measurement: lengths of layer’s convex hulls L - length

Parameters of object Parameters • Diameters of layers Measurement: transverse diameters d Parameters of object Parameters • Diameters of layers Measurement: transverse diameters d

Building of surface Deformations of base model Operations for layers: • Displacement • Scaling Building of surface Deformations of base model Operations for layers: • Displacement • Scaling realized along each coordinate axis with own scaling factor.

Building of surface Deformations of base model. Displacement Operation for layers: • Displacement along Building of surface Deformations of base model. Displacement Operation for layers: • Displacement along vector v - vector

Building of surface Deformations of base model. Operation for layers: w 1 • Scaling Building of surface Deformations of base model. Operation for layers: w 1 • Scaling w 2 Scaling factors: h 2 along X h 1 along Y Scaling

Building of surface Method Main goal: • minimum deformations - set of points of Building of surface Method Main goal: • minimum deformations - set of points of base model - set of points of built model If we use scaling factors then .

Building of surface Method Main goal: • minimum deformations Points displacement function: Minimum deformations: Building of surface Method Main goal: • minimum deformations Points displacement function: Minimum deformations: Constraints: must be satisfied - optimization problem

Parameters of object Parameters • Distances and lengths Measurement: distances and lengths between anthropometrical Parameters of object Parameters • Distances and lengths Measurement: distances and lengths between anthropometrical points

Parameters of object Parameters • H Height Main parameters: üHeight üGirth of bosom üGirth Parameters of object Parameters • H Height Main parameters: üHeight üGirth of bosom üGirth of hips Girth of bosom Girth of hips with account of salient of belly Other parameters for main layers of standard figures of body are found according to tabular data of State standard, using main parameters.

Object generation method (cont. ) • The parameters of the object describe its geometry, Object generation method (cont. ) • The parameters of the object describe its geometry, e. g. girths, diameters, distance between points, etc. • Because of the total number of the parameters required for correct object generation can be significant, it is recommended to split parameters into two parts: 1) master — major object parameters; 2) slave — parameters which can be calculated on the basis of master parameters. Thus, slave parameters can be calculated automatically.

Example • As an example we consider a compression of a female mannequin torso Example • As an example we consider a compression of a female mannequin torso using parameterization. • As a base model we will use a model obtained by a 3 D laser scan. The base model is sliced into 25 horizontal layers, 100 points per layer. Each layer has two deformation coefficients: affine deformation in x and y axis. • For parameterization we will use existing GOST standard of female body dimensions used in clothing industry. There are three master parameters in it: stature, chest and hips girth. The standard also defines many slave parameters, but we are using only 9 additional from them.

Example (cont. ) n Example of the program work: Base model Generated model Example (cont. ) n Example of the program work: Base model Generated model

Example (cont. ) • Modeling consists of two stages: 1) All layers of the Example (cont. ) • Modeling consists of two stages: 1) All layers of the base model are set to their final height as specified in the standard; 2) The optimization problem is solved using penalty function and conjugate gradient methods. • The result of the solving is 50 deformation coefficients. The deformation coefficients are applied to the base model.

Example (cont. ) Stature: 158 Chest: 84 Hips: 88 Stature: 176 Chest: 92 Hips: Example (cont. ) Stature: 158 Chest: 84 Hips: 88 Stature: 176 Chest: 92 Hips: 96 Stature: 176 Chest: 120 Hips: 136

Some results Body surface. Front view Base model H : 185, 3 cm. GB: Some results Body surface. Front view Base model H : 185, 3 cm. GB: 94, 96 cm. GH: 97, 34 cm. H : 170 cm. GB: 88 cm. GH: 92 cm. H : 164 cm. GB: 96 cm. GH: 104 cm. H – height, GB – girth of bosom, GH – girth of hips

Body surface. Base model H : 185, 3 cm. GB: 94, 96 cm. GH: Body surface. Base model H : 185, 3 cm. GB: 94, 96 cm. GH: 97, 34 cm. 3 D view H : 170 cm. GB: 88 cm. GH: 92 cm. H : 164 cm. GB: 96 cm. GH: 104 cm. H – height, GB – girth of bosom, GH – girth of hips 43

Деформация базовой модели – множество точек модели, полученной из базовой модели применением серии деформационных Деформация базовой модели – множество точек модели, полученной из базовой модели применением серии деформационных преобразований и соответствующей индивидуальным характеристикам. M 1 – оператор масштабирования по оси z, M 2 – оператор переноса, M 3 – оператор растяжения (сжатия). - параметр масштабирования по оси аппликат – вектор переноса соответственно по осям абсцисс, ординат, аппликат. – коэффициенты растяжения (сжатия) вдоль осей координат.

Criterion function and constraints In general case the criterion function can be presented as Criterion function and constraints In general case the criterion function can be presented as follows: where: P - is set of points of the new object; - is set of points of the base object; - is penalty function; - is parameters of the new object.

Spinal deformities in sagittal plane - evening-out of normal physiological spinal curvature is observed Spinal deformities in sagittal plane - evening-out of normal physiological spinal curvature is observed (flat back); increase in lumbar lordosis with low-grade cervical lordosis and thoracic spinal kyphosis (plano-concave back); increase in all spinal curvatures (round-concave back); increase in thoracic spinal hypnosis with decrease lumbar lordosis and cervical lordosis (slouch). 46

Spinal deformities in frontal plane I Spinal deformities in frontal plane are characterized by Spinal deformities in frontal plane I Spinal deformities in frontal plane are characterized by asymmetries of the trunk in the shoulder blade area, lateral spinal curvature. 47

Локализации искривлений позвоночника а б в г д a – шейно-грудной; б – грудной; Локализации искривлений позвоночника а б в г д a – шейно-грудной; б – грудной; в – комбинированный; г – грудопоясничный; д – поясничный. 48

Параметризация нарушений осанки q РП № 74 – глубина шеи; q РП № 78 Параметризация нарушений осанки q РП № 74 – глубина шеи; q РП № 78 – глубина талии II; q. Тип сколиоза – зона локализации солиотической дуги; q. Направленность дуги; qd 1 – смещение вершины дуги (верхней); qd 2 – смещение вершины нижней дуги; 49

The scheme of backbone parameters for characteristic of its shape and spatial orientation The scheme of backbone parameters for characteristic of its shape and spatial orientation

 • • • • • Wc – the central angle of an arch • • • • • Wc – the central angle of an arch of a cervical section of a backbone; Kinematics and dynamic parameters Wt – the central angle of an arch of a thoracic section of a backbone; Wl – the central angle of an arch of a lumbar section of a backbone; Lc – the length of a chord of an arch of a cervical section of a backbone; Lt – the length of a chord of an arch of a thoracic section of a backbone; Ll – – the length of a chord of an arch of a lumbar section of a backbone; Fc – angulation of a chord of a cervical section of a backbone to Z-axis; Ft – angulation of a chord of a thoracic section of a backbone to Z-axis; Fl – angulation of a chord of a lumbar section of a backbone to Z-axis; Hb – the height of ventral section of a vertebra; Hd – the height of ventral section of a disk; Fb – angulation of a vertebra to Z-axis; Fd – angulation of a disk to Z-axis; Gb – the angle between adjacent vertebras; Ls – the length of a backbone. In a kinematic chain the coordinates of the ends of its parts are marked as i=0 … 24. Then the length of a link corresponding to height ventral part of a body of a vertebra can be determined. Height of a disk. Angle of a declination of a body of a vertebra in sagital planes. The length of a chord of an arch.

Моделирование нарушений осанки в сагиттальной плоскости Для моделирования нарушений осанки в сагиттальной плоскости был Моделирование нарушений осанки в сагиттальной плоскости Для моделирования нарушений осанки в сагиттальной плоскости был выбран метод деформации свободной формы. На i-ый слой базовой модели было наложено преобразование - перенос по оси ординат. Тогда точки данного слоя новой модели можно найти по соотношению: Точки i-ого слоя базовой и новой модели, а также оператор переноса можно представить в матричном виде: i – значение переноса по оси ординат для i-ого слоя. 52

Моделирование нарушений осанки во фронтальной плоскости Для моделирования нарушений осанки во фронтальной плоскости был Моделирование нарушений осанки во фронтальной плоскости Для моделирования нарушений осанки во фронтальной плоскости был использован метод деформации с помощью шнура. Шнур определяется набором параметров: — исходная параметрическая кривая; — параметрическая кривая шнура; — скаляр, контролирующий радиус масштабирования вокруг кривой; — скаляр, контролирующий радиус влияния вокруг кривой; — непрерывная монотонно убывающая функция влияния кривой шнура. 53

Моделирование нарушений осанки во фронтальной плоскости В нашем случае исходная кривая R повторяет форму Моделирование нарушений осанки во фронтальной плоскости В нашем случае исходная кривая R повторяет форму спины базовой модели. Она задается набором точек в трехмерном пространстве: Координаты R для i-ого слоя совпадают с координатами точки середины спины соответствующего слоя базовой модели: Кривая шнура моделирует нарушение осанки и определяется набором точек: Координаты шнура W для i-ого слоя осям ординат и аппликат совпадают с координатами исходной кривой R. Координату шнура по оси абсцисс назовем смещением точки шнура и будем обозначать 54

Моделирование нарушений осанки во фронтальной плоскости Смещение j–ой точки i–ого слоя новой модели можно Моделирование нарушений осанки во фронтальной плоскости Смещение j–ой точки i–ого слоя новой модели можно определить по соотношению: где . Здесь: Тогда координаты точек новой модели с учетом возможных нарушений осанки в сагиттальной плоскости можно записать соотношением: Оператор может быть представлен в матричном виде: . Тогда 55

Оптимизационная задача Для того чтобы деформации, применяемые к базовой модели, были минимальными, необходимо решит Оптимизационная задача Для того чтобы деформации, применяемые к базовой модели, были минимальными, необходимо решит оптимизационную задачу, целевая функция которой имеет вид: Где: Параметры, задаваемые пользователем, образуют систему ограничений, общий вид которых можно представить следующей формулой: 56

Ограничения, фиксирующие нарушения осанки в сагиттальной плоскости: Ограничения, фиксирующие нарушения осанки во фронтальной плоскости: Ограничения, фиксирующие нарушения осанки в сагиттальной плоскости: Ограничения, фиксирующие нарушения осанки во фронтальной плоскости: 57

Ограничения № Огр. Наименование РП Слои 1 глубина шеи № 74 1, 10 2 Ограничения № Огр. Наименование РП Слои 1 глубина шеи № 74 1, 10 2 глубина талии I № 78 10, 20 3 глубина талии II № 79 20, 24 Тип сколиоза Шейно-грудной Смещение вершины верхней дуги 5 Смещение вершины нижней дуги Грудной № 13. Грудопоясничный № 17 Поясничный 4 Смещение вершины дуги № 7 № 19 Комбинированный № 13 № 20 58

Результаты моделирования Р: 158 мс; Ог: 92 см; Об: 96 см Гш: 5 см; Результаты моделирования Р: 158 мс; Ог: 92 см; Об: 96 см Гш: 5 см; Гт1: 6 см; Гт2: 8. 5 см Гш: 8 см; Гт1: 13 см; Гт2: 4 см 59

Результаты моделирования Р: 158 мс; Ог: 92 см; Об: 96 см Тип: 1; d Результаты моделирования Р: 158 мс; Ог: 92 см; Об: 96 см Тип: 1; d 1: -5 см; d 2: 0 см; Тип: 2; d 1: 5 см; d 2: 0 см; Тип: 3; d 1: 5 см; d 2: 0 см; Тип: 4; d 1: 5 см; d 2: 0 см; Тип: 5; d 1: 5 см; d 2: -4 см; 1 2 3 4 5 – – – шейно- грудной; грудопоясничный; комбинированный. 60

Scoliosis of the first degree Scoliosis of the first degree

. Scoliosis of the second degree . Scoliosis of the second degree

Animation 63 Animation 63

64 64

 Unfolding of surfaces with non-zero Gaussian curvature 65 Unfolding of surfaces with non-zero Gaussian curvature 65

A power functions method and surfaces deformation unfolding technology S – исходная трехмерная поверхность, A power functions method and surfaces deformation unfolding technology S – исходная трехмерная поверхность, заданная набором трехмерных точек , i=1, . . . , N; j=1, . . . , M и - ребра остовного графа. Power functions 66

а) б) Квазиразвертка 1/8 сферы: а) с условиями Чебышева; б) с ограничениями на деформации а) б) Квазиразвертка 1/8 сферы: а) с условиями Чебышева; б) с ограничениями на деформации материала 67

Nesting 68 Nesting 68

Nesting for manufacturing 69 Nesting for manufacturing 69

70 70

71 71

Разработка и исследование методов и алгоритмов построения кратчайших гамильтоновых циклов на множестве отрезков и Разработка и исследование методов и алгоритмов построения кратчайших гамильтоновых циклов на множестве отрезков и φ – объектов на плоскости 72

Предметная область • Карты раскроя 73 Предметная область • Карты раскроя 73

Цепи и циклы на множестве отрезков Граф задан множеством отрезков В простой цепи на Цепи и циклы на множестве отрезков Граф задан множеством отрезков В простой цепи на отрезкахвсе дуги пересекаются только в точках начала и конца Рис. 1 Множество отрезков Рис. 2 Гамильтонов цикл на множестве отрезков 74

Методы решения задачи • Полный перебор, лексикографический перебор, • Принцип жадности (метод ближайшего соседа, Методы решения задачи • Полный перебор, лексикографический перебор, • Принцип жадности (метод ближайшего соседа, метод включения ближайшего города, метод самого дешевого включения) • Метод ветвей и границ • Генетический алгоритм • Метод построения выпуклой оболочки 75

Целевая функция где i – отрезок Si, i = 0, 1, …, n - Целевая функция где i – отрезок Si, i = 0, 1, …, n - 1, li – длина отрезка Si, Lij– расстояние между отрезками Si и Sj, (i, j = 0, 1, …, n - 1) K – множество допустимых перемещений (маршрутов). Nint - число самопересечений пути, φ – коэффициент штрафной функции. 76

Колония муравьев • • Простые агенты Память и зрение След феромона Положительная обратная связь Колония муравьев • • Простые агенты Память и зрение След феромона Положительная обратная связь 77

Метод колонии муравьев • Основные понятия: муравей, феромон , память муравья, маршрут • Основные Метод колонии муравьев • Основные понятия: муравей, феромон , память муравья, маршрут • Основные параметры: видимостьпути, привлекательность пути (важность феромона коэффициент смежности, ), уровень использования знаний 78

Поведение муравьев Рис. 9. Маршрут следования муравьев от гнезда к источнику пищи. Процент выбравших Поведение муравьев Рис. 9. Маршрут следования муравьев от гнезда к источнику пищи. Процент выбравших более короткий путь 79

Метод колонии муравьев Муравьи : • оставляют феромон на пути следования, • заполняют список Метод колонии муравьев Муравьи : • оставляют феромон на пути следования, • заполняют список табу, т. е. обладают памятью, • оценивают важность феромона и видимость близлежащей точки, • живут в среде, где время дискретно, • поведение муравьев регулируется с помощью положительной обратной связи, • муравьи способны двигаться по замкнутой фигуре, • начинают двигаться одновременно со всех исходных точек. 80

Алгоритм поведения муравья Вероятность перемещения k – го муравья из точки i в точку Алгоритм поведения муравья Вероятность перемещения k – го муравья из точки i в точку j на t-ом шаге определяется allowedk - список отрезков, ещё не пройденных k-ым муравьём, ηij – видимость пути (функция, обратно пропорциональная расстоянию между двумя точками); τij - величина феромона на (i, j), af – adjacent force – коэффициент смежности; α и β - параметры, контролирующие относительный приоритет феромона τ на пути и видимости следующего отрезка (важность феромона и коэффициент видимости пути соответственно) 81 где

Алгоритм поведения муравья где q - случайное число на отрезке [0, 1], q 0 Алгоритм поведения муравья где q - случайное число на отрезке [0, 1], q 0 - параметр баланса между использованием накопленных знаний и исследованием новых решений (0 ≤ q 0 ≤ 1), r - случайный отрезок, выбранный на основе вероятностей, посчитанных по формуле вероятности выбора 82

Механизм обратной связи В процессе построения решения муравьи изменяют количество феромона на дугах, по Механизм обратной связи В процессе построения решения муравьи изменяют количество феромона на дугах, по которым они прошли (локальное обновление феромона). Дуги, включенные в лучший маршрут, изменяют свой вес согласно правилу глобального обновления феромона. где ρ - коэффициент локального испарения феромона, Δτij - величина добавления феромона на дуге (i, j). где γ – некоторый параметр (0 ≤ γ < 1), allowedk - список отрезков, еще не пройденных k-ым муравьем 83

Механизм обратной связи где g - коэффициент глобального испарения феромона, Δτij - величина добавления Механизм обратной связи где g - коэффициент глобального испарения феромона, Δτij - величина добавления феромона на дуге (i, j). где Lgb - длина наименьшего пути (global_best_tour), найденного со времени начала поиска 84

Основные параметры алгоритма Таблица 1. Параметры алгоритма Наименование параметра Обозначение Рекомендуемое значение Ants. N Основные параметры алгоритма Таблица 1. Параметры алгоритма Наименование параметра Обозначение Рекомендуемое значение Ants. N n (=числу отрезков) № п/п 1 Число муравьев 2 Коэффициент важности феромона α 0, 5 - 1 3 Коэффициент видимости пути β 1 -5 4 Уровень использования знаний q 0 0, 3 – 0, 5 5 Коэффициент глобального испарения g_Evaporation 0, 5 6 Коэффициент локального испарения l_Evaporation 0, 1 7 Коэффициент смежности Adjacent. Force 0 -1 85

Процедура принятия решения 1. Инициализация. Создание муравьев. Распределение муравьев. Создание tabu-list. 2. Поиск решения. Процедура принятия решения 1. Инициализация. Создание муравьев. Распределение муравьев. Создание tabu-list. 2. Поиск решения. Построение матрицы решения. Вычисление вероятности выбора следующего отрезка для каждого муравья, выбор и включение с список пройденных следующего отрезка. Последовательность действий повторяется n -1 раз для всех муравьев. Поиск начинается одновременно со всех отрезков. Изменение весов дуг, включенных в маршрут. 3. Выбор лучшего пути. Расчет длины маршрута, выбор лучшего. 4. Обновление феромона. Глобальное обновление феромона. 5. Начало новой итерации. Очищение списков. Повторение процедуры с учетом опыта предшествующих муравьев, оставивших след феромона на ребрах графа. 86

Характер процесса решения а) б) Рис. 17. Решение на 5 (а, длина 2354. 5 Характер процесса решения а) б) Рис. 17. Решение на 5 (а, длина 2354. 5 мм), 6 (б, длина 2072. 3 мм), 8 (в, длина 2049. 3 мм) итерациях алгоритма в) 87

Примеры решений Рис. 19 а). Произвольное множество отрезков Рис. 19 б). Множество отрезков с Примеры решений Рис. 19 а). Произвольное множество отрезков Рис. 19 б). Множество отрезков с ломаными Рис. 19. Примеры работы алгоритма 88

Примеры решений а) б) в) Рис. 20. Простейшие карты раскроя, а, б при малом Примеры решений а) б) в) Рис. 20. Простейшие карты раскроя, а, б при малом значении коэффициента смежности, в – при большом значении коэффициента смежности 89

Примеры решений Рис. 21. Пример построения цикла на карте раскроя 90 Примеры решений Рис. 21. Пример построения цикла на карте раскроя 90

Временная (вычислительная) сложность алгоритмов S(n) – временная (вычислительная) сложность алгоритмы – время решения задачи, Временная (вычислительная) сложность алгоритмов S(n) – временная (вычислительная) сложность алгоритмы – время решения задачи, n – размерность задачи. Пример 1. Поиск элемента в списке (поиск черной кошки в темной комнате) А={ a 1, . . . an } S(n) = n

Пример 2. Поиск ближайшей пары точек S(n) = n (n-1)/2 n 2 Пример 2. Поиск ближайшей пары точек S(n) = n (n-1)/2 n 2

Пример 3. Триангуляция Делоне S(n) = n 3 Формальное определение триангуляции: планарный граф, получающийся Пример 3. Триангуляция Делоне S(n) = n 3 Формальное определение триангуляции: планарный граф, получающийся при соединении точек A отрезками, такой, что нельзя добавить ни одного нового отрезка без нарушения планарности (т. е без пересечения отрезками друга). При этом граница триангуляции будет, очевидно, выпуклой оболочкой

Пример 4. Задача коммивояжера S(n) = n! (n! (n/e)n Пример 4. Задача коммивояжера S(n) = n! (n! (n/e)n

Пример 5. Раскрой прямоугольников S(n) = 4 n Пример 5. Раскрой прямоугольников S(n) = 4 n

Пример 6. Фигурный раскрой S(n) = Nn Пример 6. Фигурный раскрой S(n) = Nn

Пример 7. Построение маршрутов на отрезках S(n) = (2 n)! Пример 7. Построение маршрутов на отрезках S(n) = (2 n)!

Влияние технического совершенствования на полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы Функция временн ой сложнос ти Размеры Влияние технического совершенствования на полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы Функция временн ой сложнос ти Размеры наибольшей задачи, разрешимой за 1 ч На современных ЭВМ На ЭВМ, в 100 раз более быстрых На ЭВМ, в 1000 раз более быстрых n N 1 1000 N 1 n 2 N 2 10 N 2 31. 6 N 2 n 3 N 3 4. 64 N 3 10 N 3 n 5 N 4 2. 5 N 4 3. 98 N 4 2 n N 5 6. 64 + N 5 9. 97 + N 5 3 n N 6 4. 19 + N 6 6. 29 + N 6

Максимальная размерность задач, разрешимых за данное время Функция временной сложности Время решения задачи 1 Максимальная размерность задач, разрешимых за данное время Функция временной сложности Время решения задачи 1 сек. 102 сек. 1. 7 мин. 106 сек. 12 суток 108 сек. 3 года 1010 сек. 3 века 1000 n 103 105 109 1011 1013 100 n 2 103 105 106 2. 6 * 107 10 n 3 46 2. 1 * 102 4. 6 * 103 2. 1 * 104 105 2 n 19 26 39 46 53 3 n 12 16 25 29 33

Assemblage 101 Assemblage 101

From pattern to clothing Pattern for base model Initial pattern and mannequin location Result From pattern to clothing Pattern for base model Initial pattern and mannequin location Result of imposition 102

Сборка трехмерных изделий из плоских заготовок Триангуляция ткани и взаимодействие между узлами (частицами) ткани Сборка трехмерных изделий из плоских заготовок Триангуляция ткани и взаимодействие между узлами (частицами) ткани Начальные условия: Краевые условия: где S – поверхность геометрической фигуры. 103

Дискретная модель ткани Пример структуры ткани Прямоугольный случай 104 Дискретная модель ткани Пример структуры ткани Прямоугольный случай 104

Дискретная модель ткани Частично равномерная сетка - N частиц, 105 Дискретная модель ткани Частично равномерная сетка - N частиц, 105

Частично равномерная сетка 106 Частично равномерная сетка 106

Дискретная модель ткани Произвольный пример - количество узлов левой и правой границы - верхней Дискретная модель ткани Произвольный пример - количество узлов левой и правой границы - верхней и нижней 107

Дискретная модель ткани Произвольный фрагмент ткани, неравномерная сетка – размер модели M*N, - количество Дискретная модель ткани Произвольный фрагмент ткани, неравномерная сетка – размер модели M*N, - количество узлов левой и правой границы, - количество узлов верхней и нижней; 108

Дискретная модель ткани Неравномерная сетка 109 Дискретная модель ткани Неравномерная сетка 109

Взаимодействия между частицами 1) Растяжение сжатие, 2) Сдвиг, 3) Изгиб. 110 Взаимодействия между частицами 1) Растяжение сжатие, 2) Сдвиг, 3) Изгиб. 110

Взаимодействия между частицами Растяжение-сжатие - Коэффициент жесткости 111 Взаимодействия между частицами Растяжение-сжатие - Коэффициент жесткости 111

Оценка растяжений Максимальное растяжение, % Среднее растяжение, % Максимальное растяжение по вертикали, % Максимальное Оценка растяжений Максимальное растяжение, % Среднее растяжение, % Максимальное растяжение по вертикали, % Максимальное растяжение по горизонтали, % 2, 5 31, 9 9, 5 13, 5 16, 8 3, 5 23, 5 6, 8 9, 5 12, 0 4, 5 18, 2 5, 2 7, 2 9, 2 5, 5 16, 4 4, 2 6, 0 7, 9 6, 5 15, 1 3, 5 5, 0 6, 7 7, 5 12, 2 3, 1 4, 3 5, 9 11, 5 9, 3 2, 0 2, 8 4, 0 15, 5 6, 7 1, 4 2, 2 3, 1 112

Взаимодействия между частицами Сдвиг - Линейный коэффициент сдвига 113 Взаимодействия между частицами Сдвиг - Линейный коэффициент сдвига 113

Взаимодействия между частицами Изгиб - Линейный коэффициент изгиба 114 Взаимодействия между частицами Изгиб - Линейный коэффициент изгиба 114

Взаимодействия изгиба и сдвига 115 Взаимодействия изгиба и сдвига 115

Вычислительные схемы Движение системы описывается обобщенными перемещениями Уравнение движения частицы - множество индексов узлов, Вычислительные схемы Движение системы описывается обобщенными перемещениями Уравнение движения частицы - множество индексов узлов, связанных с i-м узлом 116

Матричное представление Уравнение движения системы: - матрица описывающая распределение масс ткани, - матрица демпфирования. Матричное представление Уравнение движения системы: - матрица описывающая распределение масс ткани, - матрица демпфирования. - функция, описывающая действие внутренних и внешних сил на ткань. 117

Явный метод Эйлера известны и определяются начальными условиями 1) 2) 3) 118 Явный метод Эйлера известны и определяются начальными условиями 1) 2) 3) 118

Схема с перешагиванием известны и определяются начальными условиями 1) 2) 3) 119 Схема с перешагиванием известны и определяются начальными условиями 1) 2) 3) 119

Неявный метод Эйлера 120 Неявный метод Эйлера 120

Неявный метод - реализация 121 Неявный метод - реализация 121

Неявный метод - реализация 122 Неявный метод - реализация 122

Неявный метод - реализация вычисление Решение системы относительно обновление значений r и v. 123 Неявный метод - реализация вычисление Решение системы относительно обновление значений r и v. 123

Моделирование взаимодействий дискретной модели ткани с твердым многогранным объектом - начало вектора, - конец Моделирование взаимодействий дискретной модели ткани с твердым многогранным объектом - начало вектора, - конец вектора перемещения частицы. 124

Моделирование взаимодействий дискретной модели ткани с твердым многогранным объектом Разбиение области занимаемой объектом - Моделирование взаимодействий дискретной модели ткани с твердым многогранным объектом Разбиение области занимаемой объектом - количество интервалов по координате x 125

Моделирование взаимодействий дискретной модели ткани с твердым многогранным объектом Определение номера области для точки Моделирование взаимодействий дискретной модели ткани с твердым многогранным объектом Определение номера области для точки 126

Начальное расположение 127 Начальное расположение 127

Моделирование сборки Необходимо учитывать взаимодействия изгиба между выкройками 128 Моделирование сборки Необходимо учитывать взаимодействия изгиба между выкройками 128

Результаты 129 Результаты 129

Результаты 130 Результаты 130

131 131

The end 135 The end 135