Параллельный перенос и его свойства Параллельный перенос

Параллельный перенос и его свойства

Параллельный перенос Определение Доказательство Свойства

О п р е д е л е н и е Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование , при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние. Параллельный перенос является движением , т. е. отображением плоскости на себя , сохраняющим расстояния.

(рис. 329) Пусть при параллельном переносе на вектор точки M и N отображаются в точки M 1 и N 1. Так как = , то =. Отсюда следует, что || и МM 1 = NN 1 , поэтому четырехугольник MM 1 N 1 N - параллелограмм. Следовательно, МN = M 1 N 1 , т. е. расстояние между точками М и N равно расстоянию между точками M 1 и N 1. Параллельный перенос является движением.

Свойства Параллельный перенос-движение При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую, либо в себя.

Совокупность всех параллельный переносов образует группу, которая в евклидовом пространстве* является нормальной подгруппой группы движений, а в аффинном* ― нормальной подгруппой группы аффинных преобразований*. *Евклидово пространство — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. *Аффинное пространство — пространство, обобщающее аффинные свойства евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие нулевой точки, или начала отсчёта). *Преобразование плоскости называется аффинным, если оно взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая. Преобразование называется взаимно однозначным, если оно разные точки переводит в разные, и в каждую точку переходит какая-то точка.

Параллельный перенос в пространстве Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где числа a, b, с одни и те же для всех точек (x; y; z).

Параллельный перенос в пространстве обладает следующими свойствами: 1. Параллельный перенос есть движение. 2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние. 3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя. 4. Каковы бы ни были точки A и A`, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A`. 5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

В геометрии Евклида параллельный перенос определяется как композиция осевых симметрий относительно двух параллельных прямых, но в геометрии Лобачевского параллельные прямые бывают двух видов, поэтому стоит рассмотреть два параллельных переноса и подумать, совпадают ли они.

Сейчас мы рассмотрим некоторые основные свойства параллельного переноса в евклидовой геометрии и покажем, что на плоскости Лобачевского они не верны. Если в евклидовой геометрии имеет место теорема о том, что прямая переходит в параллельную себе или остаётся на месте, то здесь это неверно. Пусть m - произвольная прямая, Т 1(m) - её образ, тогда могут быть реализованы все три варианта: m Т 1(m), m II Т 1(m) и m расходится с Т 1(m). В этом легко убедиться, рассмотрев евклидов параллельный перенос вдоль абсолюта, который и является частным случаем Т 1. Действительно, он может перенести евклидову полуокружность в полуокружность, пересекающую, касающуюся и не пересекающую исходную. Неверна также и теорема о том, что параллельный перенос однозначно задаётся образом одной точки и самой этой точкой.