Параллельность плоскостей Тетраэдр и параллелограмм Занятие № 2

Параллельность плоскостей Тетраэдр и параллелограмм Занятие № 2

Вспомогательные утверждения 1) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. β a α b

2) Если одна из двух параллельных прямых параллельная данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Параллельность плоскостей Как известно из аксиомы А 3 если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Отсюда можно сделать вывод, что для двух плоскостей в пространстве возможны два варианта: 1) Они не пересекаются 2) Они пересекаются по прямой

Пересекающиеся плоскости

Не пересекающиеся плоскости

На основании этого наблюдения мы убеждаемся в корректности следующего определения: Две плоскости называются параллельными если они не пересекаются. Примерами таких плоскостей могут служить стены (противолежащие), пол и потолок.

Теперь мы сформулируем и докажем признак параллельности плоскостей. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

a b M α a 1 b 1 β

Отметим, что прямые a и b параллельны плоскости β. Будем доказывать от противного – пусть плоскости α и β пересекаются. Тогда они пересекаются по некоторой прямой c. Тогда плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости β и пересекает плоскость β по прямой c. Откуда следует, что a параллельна c. Проведя аналогичные рассуждения относительно прямой c, получим что прямая c параллельна b. Значит через точку M проходит две прямых (a и b) параллельных c, что невозможно. Значит наша предположение неверно и признак доказан.

Основные свойства параллельных плоскостей 1) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 2) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны.

Тетраэдр Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в его плоскости. Соединив точку D с вершинами треугольника ABC получим треугольники DAC, DBC и DCA. Поверхность, образованная этими треугольниками называется тетраэдром и обозначается DABC.

D B A C

Треугольники, из которых состоит тетраэдр называются гранями, их стороны ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.

Параллелепипед Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, расположенных в параллельных плоскостях так, что AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1 параллельны.

D 1 A 1 C 1 B 1 D A C B

Параллелограммы из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называют смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными. Две вершины, не имеющие общей грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Основные свойства параллелепипеда 1) Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 2) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.