Параллельность плоскостей Тетраэдр и параллелограмм Занятие №2 Вспомогательные

Параллельность плоскостей Тетраэдр и параллелограмм Занятие №2

Вспомогательные утверждения Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. α β a b

2) Если одна из двух параллельных прямых параллельная данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Параллельность плоскостей Как известно из аксиомы А3 если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Отсюда можно сделать вывод, что для двух плоскостей в пространстве возможны два варианта: Они не пересекаются Они пересекаются по прямой

Пересекающиеся плоскости

Не пересекающиеся плоскости

На основании этого наблюдения мы убеждаемся в корректности следующего определения: Две плоскости называются параллельными если они не пересекаются. Примерами таких плоскостей могут служить стены (противолежащие), пол и потолок.

Теперь мы сформулируем и докажем признак параллельности плоскостей. Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

a b a1 b1 α β M

Отметим, что прямые a и b параллельны плоскости β. Будем доказывать от противного – пусть плоскости α и β пересекаются. Тогда они пересекаются по некоторой прямой c. Тогда плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости β и пересекает плоскость β по прямой c. Откуда следует, что a параллельна c. Проведя аналогичные рассуждения относительно прямой c, получим что прямая c параллельна b. Значит через точку M проходит две прямых (a и b) параллельных c, что невозможно. Значит наша предположение неверно и признак доказан.

Основные свойства параллельных плоскостей Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями равны.

Тетраэдр Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в его плоскости. Соединив точку D с вершинами треугольника ABC получим треугольники DAC, DBC и DCA. Поверхность, образованная этими треугольниками называется тетраэдром и обозначается DABC.

A B C D

Треугольники, из которых состоит тетраэдр называются гранями, их стороны ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.

Параллелепипед Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что AA1, BB1, CC1 и DD1 параллельны.

A B C D A1 B1 C1 D1

Параллелограммы из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называют смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными. Две вершины, не имеющие общей грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Основные свойства параллелепипеда Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.