Параллелепипед Тетраэдр КОНУС Понятие многогранника Поверхность

Параллелепипед. Тетраэдр.

КОНУС

Понятие многогранника Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранником. Примеры многогранников

Виды многогранников Выпуклые Невыпуклые

Примеры многогранников Большой курносый икосододекаэдр

Примеры многогранников Большой ромбогексаэдр

Примеры многогранников Квазиромбокубоктаэдр

Выпуклый многогранник Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 градусов.

Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Виды призм Прямая призма Наклонная призма

Пирамида Многогранник, составленный из n-угольника и nтреугольников называется пирамидой

Элементы пирамиды 1 -высота пирамиды 1 2 -боковая грань пирамиды 2 3 3 -основание пирамиды

Гексаэдр Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма углов при плоских каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Тетраэдр Поверхность, составленная из четырех треугольников … называется тетраэдром Грани Вершины D Ребра В А С

Тетраэдр. Слово составлено из греческих «четыре» и , / - «основание» . Буквальное значение – «четырехгранник» . По-видимому, термин впервые S S употреблен Евклидом. После Платона чаще встречается «пирамида» В А С

Противоположные ребра D D В В А ие снован о С А основание С

Диагональ параллелепипеда - отрезок, соединяющий противоположные вершины. D 1 С 1 B 1 А 1 D А С В

Тетраэдр Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани D тетраэдра, называется D сечением тетраэдра. D A C B A A C B

Параллелепипед Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость A 1 пересекает грани параллелепипеда, называется сечением параллелепипеда. D 1 C 1 B 1 A 1 C B C 1 B 1 D C B D 1 D A C 1 B 1 A 1 D A A D 1 C B

Сечение тетраэдра Т. к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники.

Правила построения сечений ТЕТРАЭДРА а)Проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости; б) Ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого: -- ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости); -- параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M, N, K D M А K N B C Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а.

Как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M, N, K D Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а. K N А M B C

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K D Построение: 1. KM 2. NM K А C N B M

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K D Построение: 3. NM ∩ АС = F K F А C N B M

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K D Построение: 4. KF ∩ АС = L K 5. KL L F А C N B M

Построение сечения тетраэдра через точки M, N, K D Построение: 1. KM 2. NM K L F А C N B M 3. NM ∩ АС = F 4. KF ∩ АС = L 5. KL 6. LN 7. KLNM – искомое сечение

Секущей плоскостью тетраэдра называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.

Сечение тетраэдра выпуклый многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра, а сторонами линии пересечения секущей плоскости с его гранями.

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, K. E. D Е B К А М C

D Е B К А М C

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M, параллельно грани ВСD. D N c B P А М C

Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку Е параллельно грани АВС. D Т Е К B А C

Задание 1. Построить сечение тетраэдра ABCD, проходящее через точку R параллельно грани BCD. 2. Построить сечение тетраэдра ABCD, проходящее через точку S параллельно грани ABC. 3. Построить сечение тетраэдра ABCD, проходящее через точку T параллельно грани ACD.

1. D D 2. B А S R C 3. А D C B T А B C

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, N, G. D M B А N C G

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, N, G. D M А N C G

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, N, G. D M V B А N C G

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, N, G. D M S V B А N C G

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, N, G. D M S V B А N C G

На ребрах AB, AD, CD тетраэдра ABCD отмечены точки Q, N, P. Построить сечение тетраэдра плоскостью QNP. Построение: D P N С А E R Q В

4. D Построить сечение тетраэдра ABCD, проходящее через три T А R S C данные точки R, S, T. B

4. D Построение. . B Q А T R S C L 1. 2. 3. 4. 5. RS TS TS∩DC=L LR∩AD=Q TSRQ – искомое сечение

5. D T S B А R F C L

5. D T S . L B А R . C F

6. D . S R . B Q T А L C

6. D R S . B Q T А . L C

6. D R S . B Q T А . L C

6. D R S B T Q L А C

10

10

Индивидуальное задание Построить сечение тетраэдра по данным точкам

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами рёбер. D 1 N K А 1 D А С 1 B 1 M С B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся его вершинами. D 1 С 1 А 1 B 1 D А С B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки. D 1 А 1 С 1 М B 1 D А С B

ВАЖНО! Если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам. B 1 C 1 D 1 A 1 M K B A С D

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки. D 1 С 1 А 1 B 1 N D А С B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его рёбер. С 1 D 1 B 1 А 1 K D С N Е А M B

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его рёбер. D 1 K С 1 А 1 B 1 D N Е А M B С

Постройте сечение куба, проходящее через точки, выделенные на рисунке. D 1 С 1 К А 1 B 1 M D А С N B

Постойте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через указанные точки. Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по какимлибо отрезкам, то эти отрезки параллельны. В 1 Построение: А 1 D 1 K M А С 1 L В N S D Р С

В 1 Р А 1 С 1 D 1 M В А В N С D

Практическая работа. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки. К E 1 вариант 2) F B 1 А 1 D 1 E 1) A H M A В H C 1 F A 1 E С D B 1 2) 2 вариант 1) F В С С 1 D 1 В F A E С H A B H C D

Проверьте правильность построения сечения. 1 вариант К E 2) F B 1 А 1 С 1 E D 1 1) A С H F В A В H D M 2 вариант C 1 B 1 1) 2) E F A 1 D 1 В F B C E A H С A H D

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O, F, G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB L Проводим через точки F и O прямую FO. Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. M F K N G B O C A D Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях? Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости L основания Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO. Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. Аналогичным образом получим точку R. Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости M F K N G B O C A H Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания? Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. R D

Шаг 3: делаем разрезы на других гранях Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе. L Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD. M F K Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC). N G B Почему мы уверены, что все O делаем правильно? A H C R S D E Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Шаг 4: выделяем сечение многогранника L Все разрезы образовали K пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O O, F, G. A F M N G B C S E D

Задание № 1 Задание № 2 Построй сечения призмы по трем данным точкам. А теперь проверь себя!!!

Домашнее задание B 1 № 2 C 1 A 1 D 1 M C 1 № 1 B 1 A 1 B N D 1 A K N M № 3 B A C K B 1 C D F A 1 C 1 D 1 P C 1 B 1 A 1 B D 1 N D A K K B A № 4 C D

D А C В

Решение задач

Да, путь познания не гладок. Но знайте вы со школьных лет: Загадок больше, чем разгадок. И поискам предела нет.

В тетраэдре ABCD на ребре АВ отмечена точка М. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, параллельной AC и BD и проходящей через точку М. D B A M C

Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. K D 1 C 1 A 1 D A B 1 M B N C

Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. K D 1 A 1 D A E C 1 B 1 M B N C

Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F D 1 C 1, EK. K D 1 F A 1 D A E C 1 B 1 M B N C

Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G. G K D 1 F E C 1 A 1 D A B 1 M B N C

Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след» ! Причем, GM∩АА 1=Н. G K D 1 F E C 1 A 1 H D A B 1 M B N C

Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. G K D 1 F E C 1 A 1 H D A B 1 M N C B Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба.

Построить сечение четырехугольной пирамиды, заданное точками M, N и K. Проследите за ходом построения сечения и запишите его. K M N

Построить сечение пятиугольной призмы, заданное точками M, N и K. Проследите за ходом построения сечения и запишите его. N M K

Рассмотрим теперь более сложные примеры N K M ПРИМЕР 4.

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M, N, P. F M А P D N S B Z X C XY – след секущей плоскости на плоскости основания Y

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M, N, P. F S M P D А Y XY – след секущей плоскости на плоскости основания N B C X Z

1 вариант 2 вариант Домашнее задание

Решения варианта 1. M P M N N P Решения варианта 2. N M P N P P M