Параксиальное приближение и нулевые лучи Лекция 8
Оптика нулевых лучей (продолжение) Формулы (4) и (5), полученные на прошлой лекции: (4) (5) позволяют рассчитать ход луча через серию поверхностей. Расчёт хода нулевого луча используется для определения заднего фокусного расстояния f’ и заднего вершинного фокусного расстояния s’F ОС. Для этого Полагают, что α 1=0. Тогда: (6)
Оптика нулевых лучей (продолжение) (7) Величины f’ и s’F можно рассчитать по формулам: (8) (9) Для малых углов поэтому формулы (6) и (7) можно переписать в виде: (6’) (7’)
Оптика нулевых лучей (продолжение) Если необходимо рассчитать rk используют формулу: (10) Формулы для f’ и s’F примут вид: (11) (12) Обычно всё это рассчитывается на ЭВМ.
Инвариант Гюйгенса- Гельмгольца Рассмотрим получение изображения внеосевой точки В посредством преломления сферической поверхностью радиуса r 1) Построим изображение A’ точки A с помощью параксиального луча, образующего с ОО угол α: (1) Рис. 1. 2) Построим точку A 1’ – изображение точки A 1. (2) Связь между R и R’ : (3) Для приращений R и R’ справедлива формула: Так как α и R’ – отрицательные величины, то, если то
Инвариант Гюйгенса- Гельмгольца Таким образом, изображение B’ точки В лежит на расстоянии Отсюда следует важный вывод: использование сферической преломляющей поверхности не обеспечивает получения плоскости изображений, сопряжённой с плоскостью предметов. Лишь в параксиальном приближении две плоскости, перпендикулярные ОО, будут сопряжёнными. (4) Построим изображение отрезка l: (5) Учтем, что: Тогда: Рис. 2. Или: Если учесть, что: (6) - инвариант Гюйгенса-Гельмгольца тогда: Формулы (6) и (7) можно распространить на любое количество преломляющих и отражающих поверхностей. (7)
Формулы линз Линзой называется оптическая деталь, ограниченная двумя преломляющими поверхностями, являющимися поверхностями тел вращения. Чаще всего встречаются центрированные сферические поверхности (или одна сферическая и одна плоская, перпендикулярная ОО). Рассмотрим преломляющее действие одной линзы со сферическими Поверхностями. - радиусы сфер d - толщина по оптической оси n 1 , n 2 , n 3 – показатели преломления до линзы, линзы и после линзы соответственно. Рис. 3.
Формулы линз Из уравнений оптики нулевых лучей (формулы (6’), (7’), (10)), следует: (1) Решая эту систему, получаем: (2) Для переднего фокусного расстояния имеем: (3)
Формулы линз Разделим формулу (3) на формулу (2), получим такое же соотношение, что и для одной преломляющей поверхности (4) Найдем фокусное расстояние каждой поверхности: (5) Тогда оптическая сила линзы с учётом (2) , (3) и (5), примет вид: (6) или (7) где Ф 1 и Ф 2 – оптические силы первой и второй поверхностей линзы, соответственно.
Формулы линз Заднее и переднее вершинные фокусные расстояния линзы получаются из формулы (12) (см. п. Оптика нулевых лучей) (8) (9) Положения главных плоскостей определяются из формул: (10) (11) (12)
Идеальная оптическая система Идеальными оптическими системами (ИОС) называются оптические системы, отображающие каждую точку предмета точкой изображения и сохраняющие заданный масштаб изображения. Реальные ОС не обеспечивают полное соответствие предмету при образовании изображения широкими пучками. Поэтому обычно существует очень трудоёмкий процесс коррекции системы. Для того, чтобы ОС превращала гомоцентричный пучок лучей пространства предметов в гомоцентричный пучок пространства изображений, необходимо выполнение следующих условий ИОС: 1. 2. 3. 4. 5. Каждой точке предмета должна соответствовать одна точка изображения. Изображение прямой линии является также прямой линией. Изображение плоскости является также плоскостью. Если плоскость предмета перпендикулярна ОО, то и плоскость изображения тоже должна быть перпендикулярна ОО. Линейное (поперечное) увеличение для всех отрезков предмета, перпендикулярных ОО, является постоянным.
Идеальная оптическая система Такие соответствующие другу точки, прямые и лучи, находящиеся в разных пространствах, называются сопряжёнными. Начальный этап оптического расчёта с целью получения ИОС называется габаритным расчётом. ИОС задаётся главными плоскостями, фокусными расстояниями, расстояниями между отдельными ОС и показателями преломления сред, в которых находятся эти ОС. Найдём зависимости между положениями предмета и изображения.
Идеальная оптическая система Для ИОС справедливо утверждение: если предмет в параксиальной области перпендикулярен ОО, то и его изображение перпендикулярно ОО. Из двух пар подобных прямоугольных треугольников следует: (1) Отсюда получаем формулу Ньютона: (2) Рис. 4. Если ОС находится в однородной среде, то Тогда формула Ньютона примет вид: (3) (4)
Идеальная оптическая система Найдём связь между положением точек А и A’ (отрезками a и a’ ). Из рисунка 4 следует: (4) Для случая однородной среды получаем формулу отрезков: (5) Введение линейного увеличения позволяет определить положение любой точки предмета (6) Для расстояний a и a’ : (7) (8)
Идеальная оптическая система Бесконечно тонкой системой называется оптическая система, размер которой по направлению оптической оси мал по сравнению с радиусами кривизны преломляющих поверхностей. При этом d→ 0. Главные плоскости совпадают. Тогда для фокусного расстояния для бесконечно тонкой линзы в воздухе имеем: (9) Угловым увеличением оптической системы называется отношение тангенса угла между лучом и оптической осью в пространстве изображений к тангенсу сопряженного угла в пространстве предметов. (10) Рис. 5. Из рисунка 5 следует: (11)
Идеальная оптическая система Из (6) следует: Или: (12) (12’) В случае однородной среды вокруг линзы: (13) Точки предмета и изображения, лежащие на ОО, для которых γ= ± 1 называются узловыми точками. (Аналогично определяются и узловые плоскости, перпендикулярные ОО). В главных плоскостях справедлива связь (рис. 4): (14)
Идеальная оптическая система Найдём положение узловых плоскостей K и K/ относительно фокальных плоскостей когда n 1 ≠ np+1. . Если γ = 1, то из формулы (12) следует: (15) Из формулы (6) следует: (16) Рис. 6. Поэтому: (17) Согласно рисунку (6), справедливо равенство: (18) Из него и формулы (17) получаем связь: (19) Т. е. расстояния между узловыми точками и между главными точками равны.
Идеальная оптическая система Продольное увеличение оптической системы – отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси пространства изображений, к сопряжённому отрезку в пространстве предметов: (20) Рассмотрим формулу Ньютона: (2) И продифференцируем ее по x: (21) Откуда следует: (22) Согласно формуле Ньютона: (23) Выше были получены формулы: и Поэтому формулу (23) можно переписать в виде: (24) Для ОС в однородной среде: (25)
Идеальная оптическая система Связь между продольным увеличением α и угловым увеличением γ имеет вид: (26)
Скачать презентацию Параксиальное приближение и нулевые лучи Лекция 8
Лекция 8.ppt