П 7 Правила дифференцирования Лемма 1 1 Если

П. 7. Правила дифференцирования Лемма 1. 1. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, то их сумма тоже дифференцируема в точке x и справедлива формула (u(x)+v(x))/=u/(x)+v/(x). Лемма 1. 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение тоже дифференцируемо в точке x и справедлива формула (u(x)·v(x))/=u/(x)·v(x)+v/(x)·u(x). Следствие. Справедлива формула (C·u(x))/=C·u/(x). Лемма 1. 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x, причем v(x)≠ 0, то их частное тоже дифференцируемо в точке x и справедлива формула

Теорема 1. 3. Пусть дана сложная функция y=f(x), x=x(t) и пусть функция x(t) дифференцируема в точке t, а функция y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке x=x(t). Тогда сложная функция y=f(x(t)) дифференцируема в точке t и справедлива формула y=f /(x)·x/(t). Теорема 1. 4. Пусть функция y=f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке и пусть x=g(y) - обратная для нее функция. Тогда, если функция y=f(x) дифференцируема в точке x данного промежутка и в этой точке f/(x)≠ 0, то обратная функция x=g(y) тоже дифференцируема в точке x и справедлива формула

П. 8. Производная n-ого порядка и ее свойства Пусть функция y=f(x) – дифференцируема на множестве X. Назовем f /(x) этой функции первой производной. Полученная f /(x) сама является некоторой функцией, определенной на множестве X. Если эта функция сама дифференцируема на данном множестве, то можно говорить о существовании производной у функции f /(x), т. е. производной у производной. Если она существует, то ее называют производной второго порядка для функции y=f(x) и обозначают f //(x). Аналогично, если существует производная у функции f //(x), то ее называют третьей производной и обозначают f ///(x) или f(3)(x). ОПР. 1. 6. Производной n-ого порядка функции y=f(x) называют производную от производной предыдущего (n-1)- ого порядка, т. е. f(n)(x)=(f(n)(x))/.

Сформулируем основные свойства производной nого порядка. Лемма 1. 4. Производная n-ого порядка от суммы n раз дифференцируемых функций равна сумме производных n-ого порядка, взятых от каждой слагаемой функции, т. е. (u(x)+v(x)) (n)=u(n)(x)+v(n)(x). Постоянный множитель можно выносить за знак производной n-ого порядка, т. е. (C·u(x))(n)=C·u(n)(x). Если u(x) и v(x) – две n раз дифференцируемые функции, производная n-ого порядка произведения этих функций вычисляется по формуле: где Эта формула называется формулой Лейбница. .