П. 4. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПР. 3. 7. Последовательность {An} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа Р существует номер N⋲ℕ, такой что для всех n>N выполняется неравенство |An|>P. С помощью логических символов это можно записать так Теорема 3. 4. Для того чтобы последовательность {An} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой. Следствие. Последовательности , где a, b, c – произвольные числа, являются бесконечно большими.
П. 5. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПР. 3. 8. Число b называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа существует номер N( >0 ), такой что для всех n>N( ) выполняется неравенство |xn-b|< . С помощью логических символов это определение можно записать так Если последовательность {xn} имеет своим пределом число b, то это записывают так и говорят, что последовательность сходится. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся. ОПР. 3. 9. Последовательность { n} называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, т. е. .
ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Замечания: 1. Если последовательность {xn} имеет своим пределом число b, то последовательность {xn-b} имеет своим пределом ноль, т. е. является бесконечно малой. Таким образом, можно записывать xn=b+ n. 2. Так как неравенство |xn-b|< равносильно двойному неравенству - n< которые означают, что +b<x +b, элемент xn находятся в -окрестности точки b, то определение предела можно сформулировать так: число b называется пределом последовательности {xn}, если для любой -окрестности точки b существует номер N( такой, что все элементы с номерами )⋲ℕ n>N( )находятся в этой -окрестности точки b. 3. Бесконечно большая последовательность не имеет предела. Иногда в таких случаях говорят, что такая последовательность имеет бесконечный предел, т. е. .
А сейчас мультики!
П. 6. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема 3. 5. Предел числовой последовательности единственен. Теорема 3. 6. Если последовательность сходится, то она ограничена. Теорема 3. 7. Если последовательность {An} – бесконечно большая, а последовательность {xn} – сходящаяся и не является бесконечно малой, то их произведение {Anxn} – бесконечно большая последовательность.
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема 3. 8. (Арифметические свойства пределов) Пусть даны сходящиеся последовательности {xn} и {yn}. Тогда 1. Сумма и разность последовательностей {xn} и {yn} являются сходящимися последовательностями и ; 2. Произведение последовательностей {xn} и {yn} тоже является сходящейся последовательностью и ; 3. Частное последовательностей {xn} и {yn} тоже является сходящейся последовательностью и при условии, что.
П. 7. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ Теорема 3. 9. Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится. Теорема 3. 10. Последовательность сходится и ее предел равен числу e=2, 718284590…
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ Вычислить пределы: 1. 2. 3. = =
Скачать презентацию П 4 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПР 3 7
МА_4-ПР.pptx