Скачать презентацию П 2 Предел функции в точке и его Скачать презентацию П 2 Предел функции в точке и его

МА_7-ПР.pptx

  • Количество слайдов: 13

П. 2. Предел функции в точке и его свойства ОПР. 3. 2. Число b П. 2. Предел функции в точке и его свойства ОПР. 3. 2. Число b называется пределом функции y=f(x) при x a, если f(x)-b является бесконечно малой функцией при x a. Пишут. Это определение называют определением на языке бесконечно малых. ОПР. 3. 3. Число b называется пределом функции y=f(x) при x a, если (∀ >0) (∃ (∀x: 0<|x-a|< >0) ) |f(x)-b|< . (Последнее неравенство эквивалентно следующему b-

Основные свойства предела функции в точке Теорема 3. 2. Если функция y=f(x) имеет предел Основные свойства предела функции в точке Теорема 3. 2. Если функция y=f(x) имеет предел при x a, то он единственен. Теорема 3. 3. (арифметические свойства предела в точке) Пусть , . Тогда: 1) 2) 3) ; ; .

Односторонние пределы При изучении предела функции в точке можно разложить это понятие на две Односторонние пределы При изучении предела функции в точке можно разложить это понятие на две составляющие, когда x a-0 слева, то есть, оставаясь все время меньше a, и когда x a+0 справа, то есть, оставаясь все время больше a. Обозначают эти пределы так и. Такие пределы называют односторонними пределами. ОПР. 3. 4. Число b называется левосторонним пределом функции при x a-0, если (∀ >0) (∃ (∀x: 00) ) |f(x)-b|< . Число b называется правосторонним пределом функции при x a+0, если (∀ (∃ (∀x: 00) ) |f(x)-b|< .

Критерий существования предела функции в точке Теорема 3. 4. (критерий существования предела функции в Критерий существования предела функции в точке Теорема 3. 4. (критерий существования предела функции в точке) Для того, чтобы существовал , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела функции и были равны между собой.

П. 3. Бесконечно большие функции при x a ОПР. 3. 5. Функция называется бесконечно П. 3. Бесконечно большие функции при x a ОПР. 3. 5. Функция называется бесконечно большой при x a, если (∀P>0) (∃ (∀x: 0<|x-a|< >0) ) |f(x)|>P. Пишут. Геометрически бесконечно большие в точке функции выглядят так: y y y 0 a 0 a x x Во всех этих случаях прямая x=a является вертикальной асимптотой функции y=f(x). x

Связь бесконечно большой и бесконечно малой функций при x a Теорема 3. 5. Для Связь бесконечно большой и бесконечно малой функций при x a Теорема 3. 5. Для того чтобы функция y=f(x) была бесконечно большой при x a, необходимо и достаточно, чтобы функция 1/f(x) была бесконечно малой при x a.

§ 4. Непрерывные функции П. 1. Непрерывность функции в точке ОПР. 4. 1. Функция § 4. Непрерывные функции П. 1. Непрерывность функции в точке ОПР. 4. 1. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке a, если. Такое определение непрерывности называется определением на языке пределов. ОПР. 4. 2. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке a, если (∀ (∃ >0) (∀x: |x-a|< ) |f(x)-f(a)|< . Такое определение непрерывности называется определением на языке « или по Коши. - »

Разность |x-a| обычно называют приращением аргумента и обозначают △x, а разность |f(x)-f(a)| называют приращением Разность |x-a| обычно называют приращением аргумента и обозначают △x, а разность |f(x)-f(a)| называют приращением функции и обозначают △f. Используя эти обозначения можно сформулировать следующее определение непрерывности. ОПР. 4. 3. Функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке a, если приращение функции △f бесконечно мало (т. е. стремится к нулю) при x a.

 Теорема 4. 1. (критерий непрерывности Для того чтобы функция y=f(x), определенная в некоторой Теорема 4. 1. (критерий непрерывности Для того чтобы функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, была непрерывна в точке a, необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы , и были равны другу и равны значению функции f(a) в этой точке, т. е. Теорема 4. 2. (арифметические свойства Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны в точке a, то их сумма, произведение и частное непрерывны в этой точке. функции в точке) непрерывных в точке функций)

П. 2. Локальные свойства непрерывной функции и точки разрыва Теорема 4. 3. (локальные свойства П. 2. Локальные свойства непрерывной функции и точки разрыва Теорема 4. 3. (локальные свойства непрерывной функции) Если функция непрерывна в некоторой точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, т. е. существует такое число M>0, что |f(x)|0 (f(a)<0), то в некоторой окрестности точки выполняется условие f(x)>0 (f(x)<0). 1.

Точки разрыва ОПР. 4. 4. Если функция определена в некоторой окрестности точки a и Точки разрыва ОПР. 4. 4. Если функция определена в некоторой окрестности точки a и не является непрерывной в этой точке, то точку a называют точкой разрыва функции. Существуют точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода. 1. Точки разрыва первого рода: a) Точки устранимого разрыва, когда существуют оба односторонних предела и , они другу равны, но не равны значению функции в этой точке, т. е. . b) Точки скачка, когда односторонние пределы существуют, но не равны другу, т. е. . 2. Точки разрыва второго рода – это точки неустранимого разрыва, когда хотя бы один из двух односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

П. 3. Непрерывность функции на промежутке ОПР. 4. 5. Если функция y=f(x) непрерывна в П. 3. Непрерывность функции на промежутке ОПР. 4. 5. Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке интервала [a, b], то она называется непрерывной на этом интервале. Свойства непрерывной на интервале функции называют глобальными свойствами. Теорема 4. 4. (о нуле непрерывной функции) Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, т. е. f(a)∙f(b)<0. Тогда найдется точка c [a, b] такая, что f(c)=0. Теорема 4. 5. (о промежуточном значении, вторая теорема Больцано. Коши) Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], f(a)≠f(b). Тогда она принимает на этом отрезке любое значение , лежащее между f(a) и f(b), т. е. существует такая точка c [a, b], что f(c)= . Следствие. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке с концами a и b и монотонна на нем, то область ее значений представляет собой промежуток с концами f(a) и f(b).

 Теорема 4. 6. (об ограниченности непрерывной функции на промежутке, первая теорема Вейерштрасса) Если Теорема 4. 6. (об ограниченности непрерывной функции на промежутке, первая теорема Вейерштрасса) Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на нем, т. е. существует такое действительное число M>0, что |f(x)|