Outline è single-period stochastic demand without fixed ordering

Outline è single-period stochastic demand without fixed ordering cost è base-stock policy è minimal expected cost è maximal expected profit è (s, S) policy: minimal expected cost 1

Single-Period Problem 2

Common Features è stochastic demands è how many items to order è too many: costly and with many leftovers è obsolescence è è too few: opportunity loss real-life problems è è è multi-product multi-period or continuous-time starting with a single-product, single-period problem 3

Useful Policies in Inventory Control è è any simple way to control inventory? yes, some simple rule-type policies base-stock policy è è è (s, S) policy è è reorder point s an order of S-p units only for an inventory position p s on review special case: (S-1, S) policy for continuous review under unit demands (R, Q) policy è è è base-stock level S an order of S-p units for an inventory position p units on review R in (R, Q) s in (s, S) all replenishment orders being of Q units (R, n. Q) policy è a variant of (R, Q) to replenish multiple batches of Q units to make inventory position above R 4

How Good Are the Policies? how good are the policies? è would they be optimal in some sense? è what are the conditions to make them optimal? è would the conditions for single- and multi-period problems be different? è would the conditions change with the setup cost? è 5

Answers basically yes to the questions è single-period problems è base-stock policy being optimal among all policies: zero setup cost under convexity (and certain other assumptions) è (s, S) policy being optimal among all policies: positive setup cost under K-convexity (and certain other assumptions) è è multi-period problems è similar conditions as the single-period problems 6

Single-Period Problem Optimality of the Base-Stock Policy Minimizing Expected Cost 7

Ideas of the Optimality of the Based-Stock Policy for Single-Period Problems è let H(q) be the expected cost of the period if the period starts with q items (ignoring the variable unit cost for the time being) è let Ij be the initial inventory on hand è how to order? H(q) I 1 I 2 I 3 q 8

Ideas of the Optimality of the Based-Stock Policy for Single-Period Problems è let H(q) be the expected cost of the period if the period starts with q items (ignoring the variable unit cost for the time being) è let Ij be the initial inventory on hand è how to order? H(q) I 1 I 2 I 3 q I 1 I 2 I 3 I 4 q 9

Ideas of the Optimality of the Based-Stock Policy for Single-Period Problems è unique minimum point q* of H(q) the basestock policy being optimal nothing if initial inventory I 0 q*; else order q* I 0 è order è (ignoring the variable unit cost for the time being) H(q) I 1 I 2 I 3 q I 1 I 2 I 3 I 4 q 10

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è a single-period stochastic inventory problem è order lead time = 0 è cost items è è h = the holding cost/unit left over at the end of the period è = the shortage cost/unit of unsatisfied demand è D = the demand of the period, a continuous r. v. ~ F è è c = the cost to buy each unit v(q) = the expected cost of the period for ordering q items objective: minimizing the total cost of the period 11

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è cost: variable ordering cost, holding cost, and shortage cost è ordering q units è variable ordering cost = cq è how about holding cost and shortage cost? 12

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è first assume that no inventory on hand è inventory è expected è when on hand after ordering = q holding cost D is a constant d è holding cost = 0, if d q è holding cost = h(q d), if d < q è holding cost = hmax(0, q d) = h(q d)+ è in general when D is random, expected holding cost = h. E[q-D]+ 13

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è expected è when shortage cost D is a constant d è shortage cost = 0, if q d è shortage cost = (d q), if q < d è shortage cost = max(0, d q) = (d q)+ è in general when D is random, expected holding cost = E[D-q]+ 14

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è the problem: è min è how v(q) = cq + h. E[q-D]+ + E[D-q]+ to order? what is the shape of v(q)? complicated optimal ordering policy if the shape of v(q) is complicated v(q) q 15

Example 6. 1. 1. è let us play around with a concrete example è standard Newsvendor problem èc = $1/unit èh = $3/unit è = $2/unit èD ~ uniform[0, 100] è q* =? 16

Example 6. 1. 1. D ~ uniform[0, 100] è min v(q) = cq + h. E[q-D]+ + E[D-q]+ = q + 3 E[q-D]+ + 2 E[D-q]+ 17

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è for I 0 q* è è the expected total cost not to order = v(I 0) c I 0 è è the expected total cost to order y = v(I 0+y) c (I 0+y)+ cy = v(I 0+y) c I 0 optimal not to order because v(q) is increasing for q q* for I 0 < q* è è the expected total cost ordering y = v(I 0+y) c(I 0+y)+cy = v(I 0+y) c. I 0 è è the expected total cost of ordering q* I 0 = v(q*) cq*+c(q* I 0) = v(q*) c. I 0 optimal to order q* I 0 because v(I 0+y) v(q*) for y q* I 0 ordering policy: base-stock type è for I 0 < q*, cost of the buying option = v(q*) c. I 0; cost of the nonbuying option = v(I 0) c. I 0 18

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è min v(q) = cq + h. E[q-D]+ + E[D-q]+ è would v(q) be always a convex function? Yes è optimal policy: always a base-stock policy [d-q]+ [q-d]+ d d 19

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è can we differentiate v(q)? è v(q) = cq + h. E[q-D]+ + E[D-q]+ è first-order èc condition: + h. F(q) - Fc(q) = 0 20

Example 6. 1. 1. è q* = F 1(( c)/( +h)) è c = $1/unit, h = $3/unit, = $2/unit q* = F 1(0. 2) è F = uniform[0, 100] q* = 20 è another way to show the result 21

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy èa similar problem as before, except è unit selling price = p è objective: è skipping maximizing the total profit of the period shortage and holding costs for simplicity è r(q) = the expected profit if ordering q pieces è max r(q) = p. E[min(D, q)] – cq è r(q) concave 22

Newsvendor Models: Optimality of the Base-Stock Policy è r(q) = p. E[min(D, q)] – cq è min è let (D, q) = D + q – max(D, q) = D – [D–q]+ = E(D) è r(q) = p p. E(D q)+ cq è r(q) concave è first-order condition gives Example 6. 1. 2. 23

Example 6. 1. 2. è revenue: è cost p = $5/unit terms è unit purchasing cost, c = $1 è unit inv. holding cost, h = $3/unit (inv. holding cost in example) è unit è the shortage cost, = $2/unit (shortage in example) demand of the period, D ~ uniform[0, 100] 24

Example 6. 1. 2. è expected total profit è r(q) = p. E[min(D, q)] – cq – h. E(q–D)+ – E(D–q)+ è min è (D, q) = D + q – max(D, q) = D – [D–q]+ = E(D) è r(q) = p[ – E(D–q)+] – cq – h. E(q–D)+ – E(D–q)+ è r(q) = p – cq – (p+ )E(D–q)+ – h. E(q–D)+ è concave è function r (q) = – c + (p+ )Fc(q) – h. F(q) è q* = Fc(0. 6) = 60 25

Example 6. 1. 2. è deriving from sketch è r(q) = p – cq – (p+ )E(D–q)+ – h. E(q–D)+ è D ~ unif[0, 100] E(D–q)+ = E(q–D)+ = 26

Single-Period Problem Optimality of the (s, S) Policy Minimizing Expected Cost 27

Fixed-Cost Models: Optimality of the (s, S) Policy èa similar problem, with fixed cost K per order è the sum of the variable cost in ordering, the expected inventory holding cost, and the expected shortage cost: è v(q) è S*: è = cq + h. E[q D]+ + E[D q]+ the value of q that minimizes v(q) s* < S* such that v(q*) = K+v(S*) 28

Fixed-Cost Models: Optimality of the (s, S) Policy è for I 0 > S*: no point to order è è è ordering y: v(I 0+y)+K+cy not ordering: v(I 0) for s I 0 S*: do not order è è è not ordering: v(I 0) c. I 0 ordering y: v(I 0+y) c(I 0+y)+K+cy = v(I 0+y)+K c. I 0 for I 0 s: order up to S* è è ordering y: v(I 0+y) c(I 0+y)+K+cy = v(I 0+y)+K c. I 0 K v(q * ) v(S ) s* S* q Figure 1. The Definition of s* and S* not ordering: v(I 0) c. I 0 è v(s*) optimal policy: (s, S) policy can break I 0 S* into two cases, I 0 < s and s I 0 S* 29

Example 6. 2. 1. è cost terms è è unit purchasing cost, c = $1 è unit inventory holding cost, h = $3/unit è unit shortage cost, = $2/unit è è fixed ordering cost, K = $5 per order the demand of the period, D ~ uniform[0, 100] the expected total cost for ordering q items 30

Example 6. 2. 1. è v'(S*) = 0 S* = 20 è v(S*) = 90 è s* = the value of q < S* such that v(s*) = v(S*) è s* = 5. 8579 è optimal policy è if on hand stock x < 5. 8579, order S-x è otherwise do nothing 31