Отыскание статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Отыскание статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

1. Отыскание статических моментов

Опр. 1. Статический момент M материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению массы этой точки на расстояние d ее от этой оси, то есть M=md, при этом расстоянию d приписывается знак “–” или “+” в зависимости от того, с какой стороны от оси находиться точка. Для системы из n материальных точек с массами m 1, m 2, …, mn, лежащих в одной плоскости с осью на расстояниях d 1, d 2, …, dn соответственно от оси, определяется суммой:

Рассмотрим плоскую фигуру (P) и предположим, что по этой фигуре распределена масса с поверхностной плоскостью ρ=ρ(x, y) в произвольной точке M(x, y) области (P). Разобьем область (P) на n произвольных частей: (P 1), (P 2), …, (Pn) и в каждой части (Pi) (i=1, 2, …, n) выберем произвольно точку (ξi, ηi). Если считать, что масса всей части (Pi) приближенно равна величине ρ(ξi, ηi) Pi и что она сосредоточена в точке (ξi, ηi), то статические моменты Mx и My всей фигуры (P) соответственно относительно осей OX и OY выразятся приближенными равенствами: где Pi - площадь (Pi).

Эти приближенные равенства будут тем точнее, чем меньше дробление области (P), то есть чем меньше λ-наибольший из диаметров всех частей (Pi). В пределе, когда λ 0, мы получим точное равенство: Имеем пределы интегральных сумм, составленных соответственно для непрерывных функций yρ(x, y) и xρ(x, y), то эти пределы существуют и равны соответствующим двойным интегралам от этих функций, то есть:

2. Центр тяжести плоской фигуры

Опр. 2. Точка (xc, yc) называется центром тяжести фигуры М, если статические моменты относительно координатных осей материальной точки массы m, равной массе всей фигуры М и находящейся в точке (xc, yc) равны соответствующим статическим моментам фигуры М, т. е. если xcm=My, ycm=Mx , из получаем: Для ρ=const получим:

Y y=sin x π/4 π/2 π X Пример 1. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной синусоидой y=sin x, осью ОХ и прямой x=π/4. 1. Найдем площадь Р этой фигуры: 2. Вычислим статистические моменты:

Теорема(Гульдин). Объем тела вращения плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры. Пример 2. Вычислим с помощью теоремы объем μQ тора Q, полученного вращением круга (x-a)2+y 2≤r 2, 0