ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ 1

Задачи изучаемые начертательной геометрией можно разделить на • позиционные, • метрические и • конструктивные 2

Позиционные задачи - задачи на относительное положение геометрических объектов Круг позиционных задач: относительное положение точек относительное положение прямых линий относительное положение прямой и плоскости относительное положение плоскостей относительное положение плоскости и поверхности относительное положение поверхностей 3

Метрические задачи - задачи на определение расстояний и натуральных величин геометрических объектов. 4

Конструктивные задачи – задачи на построение геометрических фигур, отвечающих заданным условиям. 5

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 6

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ПЛОСКОСТИ, ЕСЛИ ОНА ПАРАЛЛЕЛЬНА ЛЮБОЙ ПРЯМОЙ ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ 7

Z a 2 B 2 D 2 A 2 a 2 II B 2 C 2 a II BC a 1 II B 1 C 1 a II ΔABC C 2 X A 1 D 1 C 1 a 1 B 1 Y 8

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, ЕСЛИ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ ДРУГОЙ ПЛОСКОСТИ 9

a. П 2 a 2 B 2 b 2 Z a II BC A 2 a (a b) a II ΔABC b II AC C 2 X b 1 A 1 C 1 B 1 a. П 1 Y 10

ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ • ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОСКОСТИ, ЕСЛИ ОНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ ПРИНАДЛЕЖАЩИМ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ 11

1. Горизонталь и фронталь ΔАВС – две пересекающиеся F 2 прямые, к которым можно провести H 2 перпендикуляр. n 2 2. Перпендикуляр к плоскости называется D 2 – нормаль плоскости С 2 n. 3. Горизонтальная проекция нормали перпендикулярна С 1 горизонтали ΔАВС. F 1 4. Фронтальная проекция n 1 нормали D 1 H 1 перпендикулярна фронтали ΔАВС. В 1 В 2 А 2 X А 1 12

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, ЕСЛИ ОДНА ПЛОСКОСТЬ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДРУГОЙ 13

В 2 F 2 1. a 2 А 2 X H 2 n 2 D 2 2. С 2 А 1 3. С 1 F 1 a 1 n 1 D 1 В 1 Зададим плоскость перпендикулярную ΔАВС двумя пересекающимися прямыми. Одна прямая – нормаль n. Вторая прямая – произвольная прямая - а. H 1 14

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ЕСЛИ У НИХ ЕСТЬ ОДНА ОБЩАЯ ТОЧКА 15

П 2 а 2 К 2 O O X X a 1 К 1 П 1 a 1 К 1 • Точка пересечения прямой и плоскости частного положения определяется на пересечении следа плоскости и проекции прямой. П 1 16

1. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ЕСЛИ У НИХ ЕСТЬ ДВЕ ОБЩИЕ ТОЧКИ 2. ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ПРЯМОЙ ЛИНИИ, КОТОРАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ДВЕ ОБЩИЕ ТОЧКИ ПЛОСКОСТЕЙ 17

B 2 F 2 К 2 X αx αП 1 A 2 αП 2 C 2 B 1 O F 1 К 1 C 1 A 1 • Линия пересечения плоскостей определяется по точкам пересечения сторон треугольника ΔАВС и фронтального следа плоскости α. 18

Пересечение прямой и плоскости общего положения Способ вспомогательных 1. Через прямую проводят секущих плоскостей плоскость частного положения α ┴ П 1. B 2 αП 2 2. Определяют линию a 2 К 2 пересечения заданной D 2 плоскости ΔАВС и С 2 введенной α (DE). Е 2 3. Определяют точку A 2 αx пересечения заданной B 1 прямой и построенной αП 1 линии пересечения DE. D 1 C 1 Это искомая точка К 1 a 1 пересечения плоскости E 1 треугольника АВС и A 1 прямой а. 4. Определяют видимость прямой а. 19

Видимость прямых определим по конкурирующим точкам. Конкурирующие точки - точки лежащие на одном проецирующем луче. Конкурирующие точки располагаются дальше или ближе относительно плоскости П 2. А 2 Ξ В 2 X В 1 А 1 выше или ниже относительно плоскости П 1 С 2 D 2 X D 1 Ξ C 1 20

Определение видимости прямой B 2 К 2 F 2 Е 21 Е 2 A 2 F 11 С 2 B 1 F 1 К 1 C 1 E 1 A 1 21

Правило определения видимости 1. Внешний контур всегда виден. 2. Если внутри контура пересекаются две прямые, то одна из них видима, вторая- невидима. Видимость прямых определяют по конкурирующим точкам или визуально. 3. Если внутри контура пересекаются три прямые, то они имеют одинаковую видимость. 22

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ bп 2 В 2 Построить линию F 2 αп 2 D 2 1 К 2 2 x 22 A 2 D 1 21 A 1 11 32 L 1 С 2 42 К 1 F 1 L 1 31 В 1 Последовательность решения задачи совпадает с определением точки пересечения прямой и плоскости общего положения. E 2 41 E 1 пересечения треугольников Δ ABC и Δ DEF. A(100, 20), B(65, 70), C(10, 30, 40), D(90, 10, 55), E(45, 70, 0), F(20, 10, 65). С 1 • Рассмотрим треугольник АВС и прямую DE. • Рассмотрим треугольник АВС и прямую EF. • Определим видимость23 треугольников.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА bп 2 В 2 αп 2 D 2 1 2 x К 2 22 A 2 D 1 21 A 1 11 L 1 F 2 32 С 2 42 E 2 41 К 1 F 1 L 1 31 В 1 E 1 С 1 • Видимость определяем по конкурирующим точкам или визуально. • Выше располагается вершина треугольника В. Она видима на П 1 до линии пересечения • На фронтальной плоскости видимы вершины В и Е. 24

25

26