Отношения на множествах 1 Говорят что между

Отношения на множествах

(1) Говорят, что между элементами множеств и установлено соответствие, если в прямом произведение задано некоторое подмножество Если соответствие установлено между элементами одного и того же множества M, то есть то соответствие называется бинарным отношением. Итак, задание соответствия равносильно заданию множества всех упорядоченных пар элементов и таких, что Для упорядоченной пары элементов и удовлетворяющих этому условию, пишут и говорят, что элемент y поставлен в соответствие элементу x. Отметим, что задание соответствия фактически равносильно заданию некоторого отображения , то есть понятие соответствия включает в себя понятие отображения. При этом множество называется множеством определения соответствия (или бинарного отношения) , а множество называется множеством его значений. В случае бинарного отношения реализуется, очевидно, преобразование

(2) Бинарное отношение определенное на множестве M называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими тремя свойствами: -рефлективность; - симметричность; - транзитивность. Вместо пишут или , или еще проще и , если нет необходимости указывать, что речь идет об одном и том же отношении

(3)Бинарное отношение на множестве M называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами: - рефлексивность ; - транзитивность; - антисимметричность Если отношение порядка было определено заранее, вместо пишут или Запись читается: « x предшествует y » , или « y следует за x» . При таких обозначениях Теперь можем для отношения порядка ввести более привычную запись: - рефлексивность ; - транзитивность; - антисимметричность.