Отношение делимости и его свойства Определение Пусть а

Отношение делимости и его свойства Определение Пусть а и b N. Число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq а b q N , что а = bq В этом случае число b называют делителем числа а, а число а – кратным числа b 24 8, т. к. 3 N , что 24 = 8 3

Различают понятия «b делитель числа а» и «b – делитель» В выражении « 25 : 8» число 8 делитель (как компонент деления), а в выражении « 24 : 8» число 8 делитель числа 24 Теорема 1 1 является делителем любого натурального числа т. к. для а N а = 1· а Теорема 2 Если а b, то b а

Доказательство Так как а b, то q N, что а = bq а – b = bq – b = b · (q – 1). Поскольку а N, то q 1. Тогда b · (q – 1) 0, т. е. разность а – b 0 b а Из Теоремы 2 следует: Множество делителей данного числа а конечно – все делители меньше числа b Все делители числа 36 образуют конечное множество {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Свойства отношения делимости Теорема 3 ( а N) а а, т. е. отношение делимости рефлексивно Доказательство ( а N) а = а · 1. Так как 1 N делимости, а а

Теорема 4 (а b и а b) b а, т. е. отношение делимости антисимметрично Доказательство (от противного) Пусть неверно, что b а а b (по теореме 2) По условию а b и а b b а (по теореме 2) Неравенства а b и b а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверно

Теорема 5 а b и b с а с, т. е. отношение делимости транзитивно Доказательство Так как а b q N, что а = bq Так как b с р N, что b = ср а = bq = (ср)q = c(pq). Число pq N. Значит, по определению отношения делимости, а с

Теорема 6 (признак делимости суммы) Если каждое из натуральных чисел а 1, а 2, . . . , аn делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 + а 2 +. . . + аn делится на это число Доказательство Так как а 1 b, то q 1 N, что а 1= b q 1 Так как а 2 b, то q 2 N, что а 2= b q 2 ……………………. Так как аn b, то qn N, что аn= b qn

а 1 + а 2 +. . . + аn = b (q 1 + q 2 +. . . + qn) = bq q = q 1 + q 2 +. . . + qn , т. е. q N т. е. сумма а 1 + а 2 +. . . + аn есть произведение числа b и натурального числа q. Следовательно, сумма а 1 + а 2 +. . . + аn делится на b Пример Сумма (175 + 360 + 915) 5, т. к. 175 5 и 360 5 и 915 5

Теорема 7 (признак делимости разности) Если а 1 b, а 2 b и а 1 > а 2, то (а 1 – а 2) b Доказательство аналогично доказательству теоремы 6

Теорема 8 (признак делимости произведения) Если а b, то ах b, где х N Доказательство Так как а b, то q N, что а = bq на х ах = (bq)x = b(qx), т. е. ах = b(qx), где qx N по определению отношения делимости ax b

Из теоремы 8 следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b Пример Произведение (24 · 976 · 305) 12, так как 24 12 Теорема 9 Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится

Пример Сумма (34 + 125 + 376 + 1024) 2, так как 34 2, 376 2, 124 2, но 125 2 Теорема 10 Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn Доказательство основано на теореме 8

Теорема 11 Если ас bс и с N, то а b Доказательство Так как ас bс, то q N такое, что ас = (bc)q ас = (bq)c, следовательно, а = bq, т. е. a b

Признаки делимости Теорема 12 (признак делимости на 2) Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8 Доказательство 1) Пусть число х записано в десятичной системе счисления: х = аn · 10 n + аn-1 · 10 n – 1 +. . . + а 1 · 10 + а 0 , где аn, аn-1, . . . а 1 принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, аn 0 и а 0 принимает значения 0, 2, 4, 6, 8

х = аn· 10 n+аn-1· 10 n -1+. . . + а 1· 10 + а 0 = = (аn· 10 n-1 + аn-1· 10 n -2+. . . + а 1 ) · 10 + а 0 делится на 2, т. к. 10 2 а 0 тоже делится на 2, т. к. по условию заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8

2) Докажем, что, если число х 2, то а 0 приминимает значения 0, 2, 4, 6 или 8 х = аn· 10 n + аn-1· 10 n -1 +. . . + а 1· 10 + а 0 = х – (аn· 10 n + аn-1· 10 n -1+. . . + а 1· 10) делится на 2, т. к. 10 2 Число х 2 по условию а 0 2

Теорема 13 (признак делимости на 5) Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5 Доказательство аналогично признака делимости на 2 доказательству

Теорема 14 (признак делимости на 4) Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х Доказательство 1) х = аn· 10 n+аn-1· 10 n -1+. . . а 2 102 + а 1· 10 + а 0 = = (аn· 10 n-2 + аn-1· 10 n -3+. . . + а 2 ) · 102 + а 1 10 + а 0 делится на 4, т. к. 102 4 делится на 4 по условию

2) Докажем, что, если число х 4, то (а 1 10 + а 0) образует двузначное число, которое делится на 4 х = аn· 10 n + аn-1· 10 n -1+. . . + а 2 10 2 + а 1· 10 + а 0 = х – (аn· 10 n + аn-1· 10 n -1+. . . + а 2 10 2) делится на 4, т. к. 102 4 Число х 4 по условию (а 1· 10 + а 0) 4

Пример 1) Число 1 5 7 8 7 2 4 72 4 2) Число 9 8 7 6 4 1 4 41 4

Теорема 15 (признак делимости на 9) Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 9 Доказательство 1) Докажем, что (10 n – 1) 9

10 n – 1 = 10 10 n-1 – 1 = (9 + 1) 10 n-1 – 1 = = (9 · 10 n - 1 + 10 n - 1) – 1 = = (9 · 10 n - 1 + 9 · 10 n - 2 + 10 n - 2) – 1 = = (9 · 10 n-1 + 9 · 10 n-2 +. . . + 10) – 1 = = 9 · 10 n-1 + 9 · 10 n-2 + 10 n-2 +. . . + 9 = 9 · (10 n-1 + 10 n-2 + 10 n-2 +. . . + 1) делится на 9 (10 n – 1) 9

2) К десятичной записи числа х: х = аn · 10 n + аn-1 · 10 n – 1 +. . . + а 1 · 10 + а 0 прибавим и вычтем выражение (аn+ аn-1+. . . + а 0) Получим: х = (аn· 10 n – аn) + (аn-1 · 10 n-1– аn-1) +. . . + (а 1· 10 – а 1) + (а 0 – а 0) + (аn +аn-1 +. . . + а 1 + а 0) = делится на 9, т. к. каждое слагаемое содержит множитель (10 n – 1) = аn· (10 n – 1) + аn-1· (10 n-1 – 1)+. . . + а 1· (10 – 1) + + (аn + аn-1 +. . . + а 1 + а 0) делится на 9 по условию

3) Докажем, что, если число х 9, то (аn+ аn-1+. . . + а 0) 9 Равенство запишем в виде: х = (аn· 10 n – аn) + (аn-1 · 10 n-1– аn-1) +. . . + (а 1· 10 – а 1) + + (а 0 – а 0) + (аn +аn-1 +. . . + а 1 + а 0) аn +аn-1 +. . . + а 1 + а 0 = = х – (аn· (10 n – 1) + аn-1 ·(10 n-1 – 1) +. . . + а 1· (10 – 1)) В правой части этого равенства уменьшаемое и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (аn +аn-1 +. . . + а 1 + а 0) 9

Пример Число 34578 9, так как 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 27, 27 9 Число 130542 не делится 9, так как 1 + 3 + 0 + 5 + 4 + 2 = 15, 15 не делится на 9

Теорема 16 (признак делимости на 3) Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3 Доказательство аналогично доказательству признака делимости на 9

Наименьшее общее кратное и общий делитель наибольший Определение Общим кратным натуральных чисел а и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел Наименьшее общее кратное чисел а обозначают К(а, b) и b

Общими кратными чисел 12 и 18 являются: 36, 72, 108, 144, 180 … Число 36 – наименьшее общее кратное чисел 12 и 18 Пишут: К(12, 18) = 36 Свойства К(а, b) 1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным 2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т. е. если а > b, то К(а, b) > а 3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное

Определение Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел. Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают D(a, b) Общими делителями чисел 12 и 18 являются числа: 1, 2, 3, 6 Число 6 – наибольший общий делитель чисел 12 и 18 Пишут: D(12, 18) = 6

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b Определение D(a, b) = 1, то числа а и b называются взаимно простыми Пример Числа 14 и 15 – взаимно простые, так как D(14, 15) = 1

Свойства D (а, b) 1. Наибольший общий делитель чисел а и b всегда существует и является единственным 2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т. е. если а < b, то D(a, b) а 3. Наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой общий делитель этих чисел

Произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т. е. К(a, b) · D(a, b) = а · b Следствия 1) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т. е. D(a, b) = 1 K(a, b) = a · b Например, К(14, 15) = 14 15, так как D (14, 15) = 1

2) Признак делимости на составное число: Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n Пример 6 = 2 · 3 и D(2, 3) = 1, то получаем признак делимости на 6: для того, чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3 Данный признак можно применять многократно

Задача Сформулируйте признак делимости на 60 Для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 4, и на 15, где D(4, 15) = 1. В свою очередь, число будет делиться на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5, где D(3, 5) = 1 Таким образом признак делимости на 60: Для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5

3) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми числами Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, где D (2, 3) = 1, т. е. 2 и 3 являются взаимно простыми. Следовательно, D(24, 36) = 12

Простые и составные числа Определение Простыми называются числа, которые делятся только на себя и на единицу Определение Составными называются числа, которые имеют более двух делителей Единица не относится ни к простым, ни к составным числам Числа 2, 5, 17, 61 и т. д. – простые, числа 4, 25, 102 и т. д. – составные

Свойства простых чисел 1. Если простое число p делится на некоторое натуральное число n, где n ≠ 1, то оно совпадает с n Действительно, если p ≠ n, то число р имеет три делителя: 1, n и p, а тогда оно не простое 2. Если p и q – простые числа и р ≠ q, то p не делится на q Если p – простое число, то оно имеет только два делителя: 1 и р. По условию q тоже простое, значит q ≠ 1 и q ≠ р Следовательно, q не является делителем числа p Числа 17 и 11 – простые, значит 17 не делится на 11

3. Если натуральное число a не делится на простое число p, то а и p взаимно просты, т. е. D (а, р) = 1 Например, 25 не делится на 7, значит 25 и 7 – взаимно просты 4. Если произведение двух натуральных чисел а и b делится на простое число p, то хотя бы одно из них делится на p Например, 25 39 = 975. Число 975 делится на 3, т. к. 9 + 7 + 5 = 21. Но число 25 не делится на 3, следовательно, 39 делится на 3

5. Если натуральное число больше 1, то оно имеет хотя бы один простой делитель Действительно, все простые числа имеют простые делители – сами эти числа, составные числа можно раскладывать на множители до тех пор, пока они не станут простыми числами Например, 240 > 1, значит имеет хотя бы один простой делитель, это число 2 (или 5)

6. Наименьший простой делитель составного числа а не превосходит Доказательство Пусть а – составное число, а р – его наименьший простой делитель. Тогда а = рb. При этом р b, т. к. иначе простой делитель числа b был бы меньше, чем р, а тогда а имело бы простые делители, меньшие чем р. Умножим обе части неравенства на р. Получим, р2 рb рb = а. Поэтому, р2 а, т. е. р

Теорема – Основная теорема арифметики Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей где а 1, а 2, а 3, …, аk – простые числа, n 1, n 2, n 3, … , nk – показатели, с которыми входят простые числа в разложение числа х Такое разложение числа на простые множители называют каноническим

Пример 110 = 2 · 5 · 11 – произведение простых множителей есть разложение числа 110 на простые множители Два разложения числа на простые множители считают одинаковыми, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей 110 = 2 · 5 · 11 = 5 · 11 · 2 - одно и то же разложение

Способ разложения числа на простые множители 90 2 45 3 15 3 5 5 только простые числа 1 Таким образом, 90 = 2 · 3 · 5 · 1 = 2 · 32 · 5 60 = 22 · 3· 5; 72 = 23 · 32

Решето Эратосфена Эратосфеном (III в. до н. э. ) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а (решето Эратосфена) Найдем все простые числа до 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Бесконечность множества простых чисел Теорема, доказанная Евклидом Множество простых чисел бесконечно Доказательство Пусть множество простых чисел конечно и состоит из чисел: 2, 3, 5, 7, . . . , p, где р – наибольшее простое число. Найдем произведение всех простых чисел 2 3 5 7 . . . p = а. Прибавим к а единицу. Число а + 1 простым не является, т. к. а + 1 > р наибольшего простого числа (по предположению)

Пусть а + 1 – составное число (а + 1) должно иметь хотя бы один простой делитель q р. Так как число а = 2 · 3 · 5 · р также делится на это простое число q, то и разность (а + 1) – а делится на q, т. е. число 1, делится на q, что невозможно Итак, число а не является ни простым, ни составным. Но этого тоже не может быть – всякое число, отличное от 1, либо простое, либо составное. Следовательно, предложение о том, что множество простых чисел конечное и есть самое большое простое число, неверно, и значит, множество простых чисел бесконечное

Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел 1 способ Чтобы найти НОД двух чисел, можно перечислить все их общие делители и выбрать из них наибольший Пример Даны числа 120 и 486 Делители числа 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 Делители числа 486: 1, 2, 3, 6, 9, 27, 54, 81, 162, 243, 486 Общие делители: 1, 2, 3, 6 Наибольшим общим делителем является число 6

Чтобы найти НОК двух чисел, можно перечислить некоторые их общие кратные и выбрать из них наименьший Пример Даны числа 60 и 48 Кратные числа 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, . . . Кратные числа 48: 48, 96, 144, 192, 240, 288, 336, 384, 432, 480, . . . Общие кратные чисел 60 и 48: 240, 480, . . . Наименьшим общим кратным является число 240

2 способ – основан на разложении данных чисел на простые множители Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя данных чисел: 1) представить каждое данное число в каноническом виде; 2) образовать произведение общих для всех данных чисел простых множителей, каждый с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел; 3) найти значение этого произведения – оно и будет наибольшим общим делителем данных чисел

Пример Даны два числа 3600 и 288 Каноническое разложение этих чисел: 3600 = 24 32 52; D(3600, 288) = 24 32 = 144 288 = 25 32

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного данных чисел: 1) представить каждое данное число в каноническом виде; 2) образовать произведение всех простых множителей, находящихся в разложениях данных чисел, каждый с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел; 3) найти значение этого произведения – оно и будет наименьшим общим кратным данных чисел

Пример Даны два числа 3600 и 288 Каноническое разложение этих чисел: 3600 = 24 32 52; 288 = 25 32 K(3600, 288) = 25 32 52 = 7200

3 способ – алгоритм Евклида Алгоритм Евклида основан на следующих утверждениях: 1. Если а делится на b, то D(a, b) = b 2. Если a = bq + r и r < b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает с множеством общих делителей чисел b и r 3. Если а = bq + r и r < b, то D(a, b) = D(b, r)

Пусть а > b Если а делится на b, то D(a, b) = b Если при делении а на b, получается остаток r, то а = bq + r и D(a, b) = D(b, r) Найдем D(b, r) Если b делится на r, то D(b, r) = r и тогда D(a, b) = r Если при делении b на r получается остаток r 1, то b = rq 1 + r 1, и тогда D(r, r 1) = D(b, r) = D(a, b) Найдем D(r, r 1)

Продолжая описанный процесс, получаем все меньшие и меньшие остатки. В результате получим остаток, на который будет делиться предыдущий остаток. Этот наименьший, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b Найти НОК и НОД чисел можно по формуле: К(a, b) · D(a, b) = а · b К(а, b) = а · b : D(a, b) = а · b : К(а, b)

Пример Найдите по алгоритму Евклида наибольший общий делитель чисел 2585 и 7975 = 2585 3 + 220 2585 = 220 11 + 165 220 = 165 1 + 55 165 = 55 3 + 0 Значит, D(7975, 2585) = 55, К(7975, 2585) = = (7975 2585) : 55 = = 20615375 : 55 = 374825

7975 7555 2585 220 385 220 165 165 0 55 3 165 1 220 11 2585 3