От арифметики к алгебре В далёкие времена когда

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

От арифметики к алгебре. В далёкие времена, когда мудрецы впервые начали задумываться о равенствах , содержащих известные величины, наверное, ещё не было ни монет, ни кошельков. Но зато были горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранителей. «Ищется куча, которая вместе со всеми третями её, половиной и одной седьмой составляет 37…» , - поучал во 2 -м тысячелетии до н. эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в поле, совокупность вещей, учитываемых при числе имущества. Хорошо обученные науке писцы, чиновники и посвящённые в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Прошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то обычными приёмами решениями задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описание этих приёмов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!» «Делай так!» …. В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность стал справочник багдадского учёного 14 -го в. Мухаммеда Бен Муссы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб альджебр Валь-мукабала» ( «Книга о восстановлении и противопоставлении» ) – со времён превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра» , а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Восстановлением ( «аль-джебр» ) аль-Хорезми называл операцию исключения из обеих частей уравнения вычитаемых членов путём добавления противоположных по знаку, Противопоставление ( «альмукабала» ) - это сокращение в частях уравнения одинаковых членов. Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и тоже число (разумеется, если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой» , которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль. Хорезми Однако «палочкой» этой нужно пользоваться с осторожностью.

Вместо чисел - буквы В сочинении аль-Хорезми неизвестные величины, так же как и все сопутствующие выкладки и преобразования уравнений, выражались словесно. Такой стиль изложения, характерный для раннего этапа развития алгебры, историки науки называют риторическим. Новый великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого Франсуа Виета. Он первый из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита(x, y или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту. Изобретение Виета позволило гораздо легче находить самые общие решения для многих похожих одна на другую задач. Предположим, со станции, находящейся в 160 км от Москвы, в направлении от столицы выезжает поезд со скоростью 85 км/ч. Через какое время он окажется на расстоянии 500 км от Москвы? Как изменится решение, если поезд отправляется со станции, удалённой на 365 км от столицы, а скорость движения 70 км/ч? Эти две задачи отличаются лишь исходными данными. Расположенного в а км от Москвы, в противоположную от неё сторону со скоростью v км/ч, то для того, чтобы достичь расстояния b км от столицы, ему понадобится время t. Условие выражается уравнением A+vt =b Решая это уравнение относительно неизвестного t, находим t=b-a/v

Это общая формула, которая охватывает все частные случаи для конкретных числовых параметров a b v. Например, полагая, а=160 км, B=500 км, v=85 км/ч, получаем t=500 -160/85=4 ч Если же а=395 км, b=500 км, v=70 км/ч, то t=500 -395/70=1, 5 ч «Формула одна, а решения разные. Поистине математика-это искусство давать различным вещам одно и тоже название» . Этот остроумный и глубокий афоризм принадлежит Анри Пуанкаре, создателю многих современных работ математики. В работе «Наука и метод» Пуанкаре особо выделял способность учёного не просто видеть голые факты, а заглядывать поглубже - познавать душу фактов, производить обобщения: «Простым примером является алгебраическая формула, которая даёт решение всех численных задач, определённого типа, так что достаточно заменить её числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выполнимое, избавит нас от необходимости повторять без конца всё новые и новые численные загадки» . Работы Пуанкаре необычайно актуальны в новый век всеобщего триумфа компьютерной графики. Умницы-компьютеры научились познавать язык алгебраических формул и способны перерабатывать (т. е. вычислять по этим формулам) огромные массивы числовых данных. Нужно только подбирать и вводить исходящие числа, чтобы получать готовые ответы.

Уравнения. Уравнение-это равенство с переменной или переменными. При одних значениях переменной или переменных это равенство становится верным числовым равенством, а при других значениях неверным. Те значения переменной или переменных, при которых уравнение обращается в верное равенство, называют корнями уравнения. Решить уравнение-это, значит, найти его корни. Если переменная в уравнении является неизвестным слагаемым, то для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно от суммы отнять известное слагаемое. Если переменная в уравнении является неизвестным уменьшаемым, то для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. Если переменная в уравнении является неизвестным вычитаемым, то для того, чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Если переменная в уравнении является неизвестным множителем, то для того чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. Если переменная в уравнении является неизвестным делимым, то для того, чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. Если переменная в уравнении является неизвестным делителем , то для того, чтобы найти неизвестный делитель , нужно делимое разделить на частное.

ВИДЫ УРАВНЕНИЙ 1. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕНОЙ. 2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. 3. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ. 4. РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. 5. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. 6. БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ. 7. ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ.

Линейное уравнение с одной переменной. Уравнение вида ax = b, где x - неизвестное, a и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. 1. Если a 0, то уравнение имеет единственный корень x = - b/a. 2. Если а = 0, b 0, то уравнение не имеет корней. 3. Если a = 0, b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней: корнем уравнения является любое действительное число. Например: 1. 5 x -10 = 0; x = 2 - корень уравнения. 2. 0 x + 4 = 0, уравнение не имеет корней. 3. 0 x + 0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней: x - любое действительное число.

Задания для самостоятельного решения: 1. 5 х = 40, 2; 2. 3 х + 7 х = 8; 3. 3 х + 2 = 0; 4. 0, 5 + 2 х = 3 х + 1, 5; 5. х = 4; 6. 5 х – ( х + 3) = 5; 7. 2 х = - ; 8. 25 – 3 х = 2 х + 29; 9. 5 х – 3 = 0; 10. 2 + (3 х – 4) = 5 х; 11. х = -2; 12. 1, 3 у – 11 = 0, 8 у + 4; 13. 2(у – 5) + 3 у = 5(2 у + 4); 14. = -1; 15. = 2; 16. 2 х – 2(х – 7) = 8; 17. 8 у – (2 у + 4) = 2(3 у – 2);

Линейное уравнение с двумя переменными. Уравнение вида ах + bу = с, где а, b, с - действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными. Пара значений переменных, обращающая уравнение с двумя переменными в верное равенство, называется решением уравнения. Уравнения с двумя переменными удобно решать графически. Каждому решению (х, у). Множеством решений линейного уравнения с двумя переменными является прямая, если хотя бы один их коэффициентов при переменных отличен от нуля. Если а = в = с = 0, то уравнению удовлетворяет любая Пара (х; у), множеством решений уравнения является вся координатная плоскость. Если а = в = с, с 0, то уравнение не имеет решений. Например: 1. Координаты точек прямой являются решениями уравнения 2 х – у = 1. 2. Уравнение 0 х = 0 у = 5 не имеет решений.

Рациональные уравнения. Уравнение вида P(x)=0, P(x)/Q(x)=0, где Р(х), Q(x)-многочлены. При решение рациональных уравнений в основном используются два метода: 1. разложение на множители; 2. введение новых переменных.

Дробные рациональные уравнения. Уравнение дробное – уравнение вида , где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Дробное уравнение равносильно системе: Решение дробного уравнения можно разбить на два этапа: 1. Решить уравнение Р(х) = 0. 2. Проверить условие: Q (х) 0. Например : После преобразований уравнение примет вид которое равносильно системе Решив уравнение х2 – 2 х -3 = 0, получим его корни х = 3 или х = -1, Корень х = 3 является посторонним, т. к. при х = 3 х2 - 9 = 0. Следовательно, корнем исходного уравнения является х = -1.

Задания для самостоятельного решения: 1. 2. 3. 4.

Иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения – уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. Основными методами решения иррационального уравнений являются следующие: 1. метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2. метод введения новых переменных. При возведении обеих частей иррационального уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании этого метода необходимо провести проверку. Например: Решим уравнение Для этого возведем в квадрат обе части уравнения и получим х² + х - 1 = х отсюда х = 1. Сделаем проверку : если х=1, то √ 1 + 1 – 1 = 1 – верное равенство. Следовательно, х = 1 является корнем данного уравнения. Решим уравнение =. Для этого возведем в квадрат обе части уравнения и получим х – 6 = 4 – х, отсюда х = 5. Сделаем проверку : если х = 5, то не определен, следовательно, х = 5 посторонний корень. Данное уравнение не имеет корней.

Задания для самостоятельного решения: 1. 2. 3. 4.

Квадратные уравнения. Квадратным называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c – действительные числа и a ≠ 0. Если a =0 то квадратное уравнение называют приведенным если a ≠ 0 –неприведённым. Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: « Найти стороны поля , имеющего форму прямоугольника , если его площадь 12 , а 3/4 длины равны ширине» . Рассмотрим её. Пусть х – длина поля. Тогда ¾ х –его ширина, S= 3 х²/4 – площадь. Получилось квадратное уравнение 3 х²/4 =12. В папирусе дано правило для его решения : « Раздели 12 на 3/4» . 12 : 3/4=12 * 4/3 = 16. Итак, х² =16. « Длина поля равна 4» -указано в папирусе. Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²=16 , мы получаем два числа : х1 = 4, х2 = - 4. Разумеется , в египетской задаче и мы приняли бы х = 4 , так как длина поля может быть только положительной величиной. Огромный шаг вперёд по сравнению с математиками Египта сделали учёные Междуречья. Они нашли правило для решения приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0, где p и q - любые действительные числа.

В одной из вавилонских задач также требовалось определить длину прямоугольного поля (обозначим её х ) и его ширину (у): « Сложив длину и две ширины прямоугольного поля получишь 14 , а площадь поля 24. Найти его стороны» . Составим систему уравнений: х +2 у =14, ху = 24. Из второго уравнения находим у = 24/х и подставляем в первое уравнение: х +48/х =14. Отсюда получаем квадратное уравнение: х2 – 14 х + 48 = 0. Для его решения прибавим к выражению х2 - 14 х некоторое число, чтобы получить полный квадрат: х2 – 14 х =х2 - 2 * 7 *х = х2 – 2 * 7*х + 72 -72 = ( х – 7)2 - 49. Теперь уравнение можно записать так: ( х – 7)2 – 49 +48 = 0, или ( х – 7 )2 = 1. Мы пришли к квадратному уравнению , которое умели решать и египтяне. Не зная отрицательных чисел, древние математики получали х -7 =1, х =8. Следовательно, у = 24/ 8 =3. То есть длина поля равна 8, а ширина 3. Вообще же квадратное уравнение ( х -7 )2 = 1 имеет два корня : 1) x -7 =1, откуда x =8 , y =3; 2) x -7 = -1, откуда x = 6, y = 24/6 = 4.

Формула Виета. Покажем, как можно найти формулу для решения любого приведённого квадратного уравнения x 2+ px + q = 0. Запишем формулу квадрата суммы : ( a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 и заменим в ней a на x : ( x + b)2= x 2 + 2 xb + b 2. Сравним полученное выражение с нашим уравнением. Нетрудно заметить, что если положить b = p/2 , то левая часть уравнения x 2 + px + q будет отличаться от полного квадрата x 2 + 2 xb + b 2 только постоянной. Это наблюдение подсказывает основную идею решения. В уравнении x 2 + px + q нужно выделить полный квадрат : (x + p2) = x 2 + px + p 24 , а то, что останется, т. е. выражение ( - p 24 + q), перенести в правую часть. После этого уравнение x 2 +px + q примет вид (x + p/2)2= p 2/4 –q. Ясно, что ни при каком х выражение (x + p/2)2 не может быть отрицательным. Следовательно, если p 2/4 –q< 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Пусть p 2/4 – q<0. Тогда, извлекая квадратный корень из последнего уравнения, получаем x +p/2 =± √ p 2/4 - q, откуда окончательно находим два корня : x 1 = + , x 2 = - - , и, в сокращённом виде: x 1, 2 = - ±. Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в. , внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

Дискриминант квадратного уравнения. Выражение, стоящее в формуле Виета под знаком корня, называют дискриминантом (от лат. discriminans – «разделяющий» , «различающий» ) и обозначают буквой D. Для нашего приведённого квадратного уравнения D = p 2/4 – q. Действительно, при решении квадратных уравнений имеет смысл различать три случая – в зависимости от знака дискриминанта. При D<0 уравнение не имеет корней. При D>0 оно имеет два различных корня х1 и х2, которые находят по формуле Виета. Что же будет , если D = 0? В этом случае q = p 2/4 , левая часть уравнения представляет собой полный квадрат (x +p/2)2 = 0, так что имеет один-единственный корень x = -p/2. Формула Виета в этом случае даёт x 1 = x 2 =-p/2, т. е. определяемые ею два корня совпадают (говорят также, что уравнение имеет двукратный корень ).

Теорема Виета. С помощью введённого им буквенного исчисления Франсуа Виете не только записал в общем виде формулы для корней квадратного уравнения , но и нашёл выражение для коэффициентов уравнения через его корни , которое сейчас называется теоремой Виета: Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения x 2 + px +q = 0, то x 1 + x 2 =-p, а x 1*x 2 = q. Буквенное исчисление позволяет доказывать теоремы с помощью алгебраических преобразований. Мы знаем , что при D≥ 0 корни квадратного уравнения находятся по формуле x 1, 2 =-p/2±√D. Теперь достаточно аккуратно выполнить алгебраические преобразования -и теорема Виета будет доказана x 1 + x 2 = (-p/2 + √D) + (-p/2 - √D) = -p, x 1*x 2 = (-p/2 + √D )(-p/2 - √D) = p²/4 –D = p²/4 – (p²/4 – q) = q. Обратим внимание ещё на одно интересное соотношение – дискриминант уравнения равен квадрату разности его корней: D = (x 1 –x 2)². Из теоремы Виета вытекает, что приведённый квадратный трёхчлен с корнями х1 и х2 мож-но записать в виде: (х – х1)(х – х2). Действительно, раскрывая скобки в этом произведении, получаем выражение x² – (x 1 + x 2)x + x 1 x 2 = x² +px + q. И наоборот, это разложение на множители можно использовать для доказательства теоремы Виета без вычислений.

В самом деле, пусть дан квадратный трёхчлен x² + px + q, a x 1 и x 2 его корни. Замечаем, что (x –x 1)(x –x 2) = x² –(x 1 + x 2)x +x 1 x 2 есть приведённый трёхчлен с теми же корнями x 1 и х2, что и данный. Разность двух членов равна ( p + x 1 + x 2 )x + ( q – x 1 x 2). Это линейная функция относительно х. Причём поскольку оба многочлена обращаются в нуль в точках х1 и х2, тои их разность (p + x 1 + x 2)x + (q – x 1 x 2) обращается в нуль в тех же точках. Для линейной функции это возможно только в том случае, если она равна нулю. Отсюда вытекает, что -p = (x 1 + x 2), a q = x 1 x 2, т. е. теорема Виета. Это рассуждение, как и саму теорему Виета, можно обобщить на многочлены любой степени: Коэффициент при xª -1 в многочлене степени a равен сумме его a корней со знаком минус, а свободный член – произведению всех корней и числа (-1)ª.

Задания для самостоятельного решения: 1. 2 х – х²= 0; 2. х² – 16 = 0; 3. 3 х² + 5 х – 2 = 0; 4. х² – 3 х – 1 = 0; 5. 2 х² = 0; 6. 5 х² – 10 х = 0; 7. х² – 8 х + 7 = 0; 8. 9 х² – 6 х + 1 = 0; 9. 7 х – 2 х² = 0; 10. 3 х² – 75 = 0; 11. 5 х² – 11 х + 2 = 0; 12. х² + 2 х – 2 = 0; 13. 4 х² = 8 х; 14. х² – 2 = 0; 15. 4 х² + х – 3 = 0; 16. 3 х²– 2 х + 4 = 0; 17. (4 х – 1)(х + 4) = 2(3 х – 2); 18. 9 х²– 25 = 0; 19. 9 х² + 7 = 0;

Приведённое уравнение. Приведённое квадратное уравнение аx²+ bx + c = 0, а ≠ 0, после деления на а превращается в приведённое уравнение x²+ b/a *x + c/a = 0, формула которого у нас уже есть. Поэтому корни –x 1, 2 = -b/2 a ± √ 1/4(b/a)² – c/a = ( -b ± √ b²– 4 ac): 2 a. Дискриминант этого уравнения D = b² – 4 ac. Теорема Виета для неприведённого уравнения звучит так: Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax² +bx +c = 0, то x 1 + x 2= -b/a, a x 1*x 2 = c/a. В рассказе о квадратном уравнении мы рассматривали только действительные корни. В области комплексных чисел всё обстоит более проще: любое квадратное уравнение, имеющее два корня, возможно совпадающих при с = 0. При отрицательном дискриминанте они будут сопряжёнными комплексными числами. Доказательство и вывод формул сохраняются без всяких изменений. Более того , формулы для корней, и теорема Виета остаются в силе для квадратных уравнений с произвольными комплексными коэффициентами. В этом случае D надо понимать как любой из двух комплексных корней из числа D.

Задачи для самостоятельного решения: х² – 2 х = 0; х² – 7 х + 6 = 0; х(х + 3) = х + 3;

Кубические уравнения. Если квадратные уравнения умели решать ещё математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические , т. е. уравнения вида ax³+ bx² + cx + d =0, где а ≠ 0, оказались «крепким орешком» . В конце XVв. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своём знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И всё же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Если кубическое уравнение вида ax³ + bx² + cx + d = 0, где а ≠ 0, разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения x³ + Px² + Qx + R = 0. Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы: ( a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³. Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим а на х и перегруппируем слагаемые: (x + b)³ = x³ +3 bx² + 3 b²x + b³. Мы видим, что надлежащим выбором b , а именно взяв b = P/3, можно добиться того, что правая часть формулы куба суммы будет отличаться от левой части уравнения только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим оба уравнения и приведём подобные: (x + b)³ + (Q – 3 b²)x + R – b³ = 0. Если здесь сделать замену y = x + b получим кубическое уравнение относительно у без члена с у²: y³ + py + q = 0. Итак, мы показали, что в кубическом уравнении с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида x³ + px + q = 0.

Формула Кардано. Давайте ещё раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем её иначе: (a + b)3 = a 3 + b 3 + 3 ab(a + b). Сравните эту запись с уравнением x 3 + px + q = 0 и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу x = a + b: x 3 = a 3 + b 3 + 3 abx, или x 3 – 3 abx – (a 3 + b 3) = 0. Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения x 3 + px + q, достаточно решить систему уравнений или

Решить в качестве х сумму а и b. Заменой u = a 3, v = b 3, эта система приводится к совсем простому виду U +v =-q, Uv= -( p/3 )³. ) Дальше можно действовать по разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета , сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту при х со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует , что u и v - корни уравнения t 2 + qt – (p/3)³= 0. Запишем эти корни: t 1, 2 = -q/2 ± √(q/2)² + (p/3)³. Переменная а и b равны кубическим корням t 1 и t 2, а искомое решение кубического уравнения – сумме этих корней: =³√-q/2 + √(q/2)² + (p/3 )³ + ³√-q/2 - √(q/2)² + (p/3)³. Эта формула известна как формула Кардана.

Решаем уравнения. Пусть известно, что наше уравнение имеет корень h. Тогда его левую часть можно разложить на линейные и квадратные множители. Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = -h³ – ph и пользуемся формулой разности кубов: 0= x³ – h³ +px – ph=(x – h)(x² + hx + h²) + p(x – h)= (x - h)(x²+ hx + +h² + p) Теперь можно решить квадратное уравнение x²+ hx + +h² + p=0 и найти остальные корни данного кубического уравнения. Итак, мы во всеоружии и, казалось бы, можем справиться с любым кубическим уравнением. Давайте попробуем свои силы. 1. Начнём с уравнения x³ + 6 x – 2=0. Подставляем в формулу Кардано р = 6 и q = - 2 и после несложных сокращений получаем ответ: х = ³√ 4 - ³√ 2. Что ж, формула вполне симпатичная. Только перспектива выносить множитель х – (³√ 4 -³√ 2) из левой части уравнения и решать остающееся квадратное уравнение со «страшными» коэффициентами для вычисления других корней не очень – то вдохновляет. Однако, присмотревшись к уравнению внимательнее, можно успокоиться: функция в левой части строго возрастает и потому может обращаться в нуль только один раз. Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.

Задания для самостоятельного решения. 1. х ³ – 5 х ²+ 4 = 0; 2. х ³– х ² – х = ; 3. х ³ + 6 х – 2 = 0; 4. х ³ + 3 х – 4 = 0; 5. 2 х ³ + 7 х – 1 = 0; 6. - х ³ + 8 х – 2 = 0; 7. х ³ + 5 – 2 х = 0.

Биквадратные уравнения. Метод решения уравнения четвёртой степени нашёл в XVI в. Людовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется метод-Феррари. Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвёртой степени x + px³ + qx² + rx+ s = 0 можно избавиться от члена px³ подстановкой x = y. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю: x + ax² + bx+ c=0. Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде А²=В², где левая часть-квадрат выражения А=x²+s, а правая часть-квадрат линейного выражения В от x, коэффициенты которого зависят от s. После этого останется решить два квадратных уравнения: А= В и А= - В. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра s. Удобно взять s в виде a/2+t, тогда уравнение перепишется так: ( x²+a/2+t )² = 2 tx² - bx + t²+at - c+ a²/4. (*)

Правая часть этого уравнения – квадратный трёхчлен от x. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т. е. D=b²-4· 2 t· ( t² + at – c + a²/4) =0, или b² = 2 t (4 t² + 4 at + a² - 4 c). Это уравнение называется резольвентным (т. е. «разрешающим» ). Относительно t оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень t 0. При t = t 0 правая часть уравнения (*) принимает вид 2 t 0 ( x – b/4 t 0)² а само уравнение сводится к двум квадратным: x² + a/2 + t 0 = +_√ 2 t 0 ( x – b/4 t 0 ). Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Задания для самостоятельного решения. 1. х + х³– х² -2 х - 2 = 0; 2. (х -2)(х + 1)(х + 4)(х + 7) = 63; 3. (12 х – 1)(6 х – 1)(4 х – 1)(3 х – 1) = 5; 4. х – 8 х² + 432 = 0;

Системы уравнений. Во многих задачах бывает нужно найти несколько неизвестных величин, зная, что другие, образованные с их помощью величины (функции от неизвестных) равны другу или каким-то данным величинам. Возможные ограничения-неравенства нужно иметь в виду всегда, когда вы решаете задачи на составление систем уравнений. Но всё же главное – решить сами уравнения. О методах, которые при этом применяются мы и расскажем. Начнём с определений. Системой уравнений называется набор из нескольких (больше одного) уравнений, соединённых фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения системы должны выполняться одновременно. Соответственно решением системы уравнений называется всякий набор значений неизвестных, при подстановке которых в уравнения системы все они одновременно превращаются в верные числовые неравенства. Таким образом, множество решений системы – это пересечение множеств решений всех её уравнений, а решить систему – значит найти это пересечение или показать, что оно пусто, т. е. решений нет. В последнем случае система называется несовместной.

Надо сказать, что бывают и такие задачи, в которых требуется найти объединение решений нескольких данных уравнений, т. е. все значения неизвестных, обращающие в равенство хотя бы одно из них. В этом случае говорят о совокупности уравнений. Для обозначения совокупности используют квадратную скобку: Но вернёмся к системам. Число неизвестных, входящих в уравнения системы, может быть и больше, и меньше числа уравнений; бывают, например, системы с одним неизвестным. Однако га уроках математики чаще приходится иметь дело с системами, в которых число неизвестных и уравнений одинаково. В некоторых задачах бывает достаточно только исследовать систему, т. е. определить, имеет ли она решения, конечно или бесконечно множество решений и т. п.

Линейные системы уравнений. Самые простые уравнения – линейные. И самые простые системы – это линейные системы уравнений. Они замечательны тем, что допускают полное исследование и решение, причём с помощью одних только элементарных алгебраических преобразований. Для двух и трёх переменных их умели решать уже математики Междуречья и Древнего Китая. С этими системами мы и познакомились в первую очередь. Итак, система уравнений называется линейной, если она содержит только первые степени неизвестных. Метод решения линейных систем, который мы рассмотрим, известен как метод Гаусса. Пусть дана система из трёх уравнений с тремя неизвестными: x + y + z = 0, x + 2 y +3 z = 2, x – y = 1.

Вычтем первое уравнение из второго (т. е. приравняем разность левых частей к разности правых), а затем из третьего: x + y + z =0, y + 2 z = 2, -2 y – z =1. Очевидно, что любое решение исходной системы будет удовлетворять и полученной из неё новой системе. Наоборот, от новой системы можно вернуться к старой, добавив первое уравнение к двум другим, поэтому любое решение новой системы удовлетворяет и исходной. В результате мы достигли важной цели – исключили x из второго и третьего уравнений, которые теперь можно рассматривать как отдельную систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Далее, исключим y из третьего уравнения, вычитая из него второе, умноженное на -2. Получим систему треугольного вида с тем же множеством решений, что и у предыдущей, а значит, и у исходной системы: x + y + z=0, y + 2 z=2, 3 z =5.

Из последнего уравнения находим z=5/3. Подставив это значение во второе уравнение, находим y=-4/3. Наконец, подставляем y и z в первое уравнение и получаем x=-1/3. Метод Гаусса можно решать линейные системы с любым числом неизвестных и уравнений. Сначала уравнения записывают так, чтобы неизвестные в них шли в одном и том же порядке, одинаковые неизвестные во всех уравнениях стояли в одном столбце, и чтобы первое неизвестное присутствовало в первом уравнении. Возможно, для этого придётся переставить уравнения или неизвестные в них (одновременно во всех). Это может не получиться в единственном случае – когда все уравнения имеют вид 0=b. Но когда сразу можно сказать, что- либо система не имеет решений (если хотя бы одна из правых частей не нуль), либо любой набор значений неизвестных является её решением (если и правые части нулевые). Этот случай мы упоминаем не из чрезмерного педантизма, а потому, что он может встретиться и в ходе решения «нормальной» с виду системы.

На следующем шаге мы исключаем первое неизвестное из всех последующих уравнений, вычитая из них первое уравнение, умноженное на соответствующий множитель. После этого мысленно вычёркиваем первое уравнение, повторяем всю процедуру с оставшейся системой, в которой на одно уравнение и одно неизвестное меньшею. И действуем так до тех пор, пока есть что исключать. Если система «хорошая» (математики говорят «невырожденная» ), то в конце концов мы придём к треугольной системе, в которой последнее уравнение имеет вид az=b, где a≠ 0, а z – последнее неизвестное. Остаётся получить из него z, а затем пройти все уравнения в обратном порядке и последовательными подстановками найти остальные неизвестные. В этом случае система имеет единственное решение.

Но не всегда описанный алгоритм решения заканчивается столь же гладко, как в предыдущем примере. Заменим в нашей системе последнее уравнение: x + y + z=0, x + 2 y + 3 z=2, 5 x + 7 y + 9 z=4. Исключая х, получим x + y +z=0, y +2 z=2, 2 y + 4 z=4. Теперь исключаем у из последнего уравнения: x + y + z=0, y + 2 z=2, 0=0. В результате последнее уравнение фактически исчезло – оно выполняется при всех значениях неизвестных. Множество решений этой системы бесконечно: z можно задавать произвольно, но y = 2 – 2 z и x = z – 2 после этого определяются однозначно. Решениями системы являются все тройки чисел вида (z – 2; 2 – 2 z; z), где z – произвольное число.

Возможна и другая ситуация. Система x + y + z=0, x + 2 y + 3 z=2, 5 x + 7 y + 9 z=5 методом Гаусса приводится к виду x + y + z=0, y + 2 z=2, 0=1. Очевидно, что решений она не имеет. Линейные системы можно рассматривать и с геометрической точки зрения. В случае двух неизвестных график линейного уравнения на координатной плоскости – прямая. Поэтому решить систему линейных уравнений с двумя неизвестными – значит найти общие точки нескольких прямых. Для двух уравнений возможны три случая: прямые пересекаются (единственное решение), параллельны (решений нет), совпадают (решений бесконечно много).

Линейное уравнение с тремя неизвестными задаёт плоскость в трёхмерном пространстве. Плоскости, отвечающие уравнениям нашей первой системы, пересекаются в одной точке. Они могут также пересекаться по общей прямой, как во второй системе, или не иметь ни одной общей точки, как в третьей. Наконец, все три плоскости могут совпадать. В этом случае уравнения системы отличаются друг от друга только постоянным множителем. Кроме метода Гаусса есть и другие способы решения линейных систем. В наше время методы решения линейных систем приобрели особую важность в связи с задачами математической экономики. Обычно такие задачи сводятся к линейным системам с огромным числом неизвестных. Рассмотрим два основных метода решения системы линейных уравнений.

Метод подстановки в одном из уравнений системы (в любом) выразить одно неизвестное через другое, например х через у; полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным у; решить это уравнение, найти значение у; подставить найденное значение у в выражение для х, найти значение х.

Задача 1 Решить систему уравнений: 3 x + 4 y = -1; 2 x + 5 y = 7. Решение Выразим из второго уравнения х и далее будем решать по указанному выше алгоритму. 3 x + 4 y = -1; 2 x = 7 + 5 y; 3 x + 4 y = -1; x = 3, 5 + 2, 5 y; 3(3, 5 + 2, 5 y) + 4 y = -1; x = 3, 5 + 2, 5 y; 10, 5 + 7, 5 y + 4 y = -1; x = 3, 5 +2, 5 y; 11, 5 y = -11, 5; x = 3, 5 + 2, 5 y; y = -1 x = 3, 5 + 2, 5 · (-1); y = -1; x = 1. Ответ: х = 1, у = -1.

Метод алгебраического сложения Для решения системы линейных уравнений методом алгебраического сложения нужно: уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных; складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное; подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Задача 1 Решить систему уравнений: 4 х – 5 у = -22; 3 х + 2 у = 18. Решение Уравняем модули коэффициентов при у, умножив первое уравнение на 2, а второе – на 5, и далее решаем по указанному выше алгоритму: 4 x – 5 y = -22; │· 2 3 x + 2 y = 18; │· 5 8 x – 10 y = -44; 15 x + 10 y = 90; 23 x = 46; 4 x – 5 y = -22; x = 2; 2 · 4 – 5 y = -22; x = 2; y = 6. Ответ: х = 2, у = 6.

1. 2. 3. 8. 9. 10. 4. 11. 5. 12. 6. 13. 7. 14.

Скачать презентацию От арифметики к алгебре В далёкие времена когда

Нужно 4.ppt

Количество слайдов: 47