Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной

Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной в основании Занятие № 2 Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Решение простейших логарифмических неравенств: a > 1 x 1 > x 2 > 0 a > 1 xx 2 2 > x> x 11 > 00 < a x 1 > 0 0 < a x 2 > 01 2 log loga ax x

В предыдущем занятии было доказано: выражения log a b и ( b – 1)(a – 1) имеют один знак

Решение логарифмических неравенств с применением доказанного свойства: неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x) равносильно неравенству ( f – g )( h – 1 ) log h(x) g(x) равносильно неравенству ( f – g )( h – 1 ) > 0 на ОДЗ

Алгоритм решения неравенства log h(x) f(x) > log h(x) g(x) 1) Находим область допустимых значений переменной (ОДЗ): 2 ) Решаем неравенство ( f (х) – g (х))( h (х) – 1 ) > 0. ( Условимся далее две последние строки системы писать одной так: 0 < h(x) ≠ 1 )( ) 0, ( ) 1. f x g x h x 3) Для найденного решения учитываем ОДЗ. 4 ) Записываем ответ.

Решите неравенство : 1) ОДЗ: 1 0, 0 3 1; x x 1, 3 4; x x 3 4. x 2 ) Переписываем неравенство в виде 2 3 3 log 1 log ( 3) ; x xх x Решаем неравенство ( х – 1 – ( х – 3) 2 )( х – 3 – 1) < 0; ( х – 1 – х 2 + 6 x – 9 )( х – 4 ) < 0; – ( х 2 – 7 x + 10 )( х – 4 ) 0; х○ ○ 3 5 +–+ ///////////////// 2○ ///////////////////// ОДЗ 3 log 1 2; xx ( х 2 – 7 x + 10 )( х – 4 ) > 0; ○ 4– /////////Ответ: 3 < x

Решите неравенство : 2 log 3 2 1 x х 2 3 2 0, 0 1; х x 2 2 2 log 3 2 log x x х x 1) ОДЗ: 2 2 3 2 1 0; х x x ○ — 3 — 1 1 х+ 1, 5, 1, 0; x x х 2) 2 2 3 1 1 0; xх x х 3 1 1 1 0; х х x х /////////// 1, 5////////////////////////// ОДЗ 2 log 3 2 1 x x ○ ○+- + 0 ○○ Ответ: ( — 3 ; — 1 )

Решите неравенство : 2 2 2 3 3 log ( 3 ) xх x х 1) ОДЗ: 2 2 3 3 3 1 0; х x х ○ — 3 1 х+ 2 2 3 0, 3 1; x x x 2) 2 2 2 3 3 1 0; xх x х 3 13 3 1 0; 2 2 х х x х ○ ○-+ ○ 23 log 3 1 xх x 2 3, ( 3) 0, 3 1 0; x x x 3 13 , 2 3, ( 3) 0; x х x x 13 3 0. 2 x 23 log 3 1 xх x 3 13 2 13 3 2 — + ///////////////// 0○ 13 3, 6 ////////////// ОДЗ Ответ: 3 13 0; 1; 2 U

Решите неравенство : 15 log 2 1 2 x x 1) ОДЗ: 15 0, 1 2 0 1; х x 1 2 0, 0 1; х x 0, 5, 0 1; х x 0 0, 5. x 2) 15 log 2 1 2 x x ∙ ( — 1); 15 1 log 2; 1 2 x x 1 215 log ; 1 2 x xх x 21 2 log ; 15 x x х х 21 2 1 0; 15 х х х 2 15 1 0 15 х х х ∙ ( — 15);

2 15 2 1 1 0; х х х 1 1 15 1 0 3 5 х х х : 15; 1 0, 2 1 0; 3 х х х х 1 3 0, 2 1○ ○ ○ +─+─ //////////////////// ОДЗ: 0 0, 5. x 0○ 0, 5 ○/////// ОДЗ Ответ: 0, 2 < x < 0,

1) Решите неравенство : 3 1 log 1 x x Ответ: 3 13 3 5 ; 0 0; 2 2 2 U U 2) Решите неравенство : 2 2 3 15 2 11 log 5 1 log 7 1 0 2 2 x x х х Ответ: 1 2 1 ; ; . 5 7 2 U