Основы теории вероятности Лекция 1 Случайные события

Основы теории вероятности Лекция 1

Случайные события. Классификация событий • Событием в теории вероятностей называется всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания). • Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, В, С и т. д.

• Определение 1. Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытание. • Определение 2. Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытание.

• Определение 3. Два события А и В называются противоположными если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. • Событие, противоположное событию А, обозначают через Ā.

• Определение 4. Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом и невозможным, если в дано испытании оно заведомо не может произойти.

• Определение 5. Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании. • Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно наступает хотя бы одно из них.

• Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет оснований утверждать, что какое-либо из них в результате опыта имеет больше шансов появиться, чем другое.

Сумма и произведение событий • Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. • Сумма S событий А, В, С, . . . , N обозначается так: S = A+B+C+…+N

• Произведением, или совмещением, нескольких событий порывается событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. • Произведение S событий А, В, С, . . . , N обозначается так: S = ABC. . . N.

Частота события и ее свойства • Частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых появилось событие, к числу всех испытаний. • Обозначая частоту события A через Р* (A), имеем по определению: Р* (A) = m/n где m — число испытаний, в которых появилось событие А, а n — общее число испытаний.

• Свойство 1. Частота случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей, т. е. 0 P(A) 1 Свойство 2. Частота достоверного события равна единице. Свойство 3. Частота невозможного события равна нулю.

• Свойство 4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме частот этих событий: Р* (A+B)= Р* (A)+ Р* (B).

• Частоту одного события, вычисленную при условии наступления другого события, называют условной частотой и обозначают Р*(А/В), Р*(В/А). • Свойство 5. Частота произведения двух событий равна произведению частоты одного из них на условную частоту другого Р*(АВ) = Р*(А)·Р* (В/А) = Р* (В)·Р* (А/В).

Вероятность события • Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируются частоты - этого события по мере увеличения числа испытаний. • Это определение вероятности называется статистическим. Вероятность события А принято обозначать Р (А).

• Вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев. • Это определение вероятности называется классическим.

• Обозначая число случаев, благоприятствующих событию A через т и общее число равновозможных случаев через п, данное классическое определение вероятности можем записать в виде формулы Р(А)=m/n.

Аксиоматическое построение теории вероятностей • Аксиома 1. Вероятность случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей, т. е. 0 P(A) 1 • Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. • Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

• Аксиома 4. Вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р(A+B)= Р(A)+ Р(B).

• Определение. Вероятность наступления события А вычисленная при условии наступления другого события В, называется условной вероятностью события А по отношению к событию В и обозначается Р(А/В).

• Аксиома 5. Вероятность произведения (совмещения) этиx событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т. е. Р(АВ) = Р(А)·Р(В/А) = Р(В)·Р(А/В).

Теорема сложения вероятностей Теорема. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А 1+А 2+. . . + Ап)=Р (А 1) + Р (А 2) +. . . + Р (Аn) Следствие 1. Если события А 1, А 2, . . . Ап образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: Р (А 1) + Р (А 2) +. . . + Р (Аn)=1

• Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р (А) + Р (Ā)=1

Теорема умножения вероятностей • Определение. Событие А называется независимым по отношению к событию В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. В противном случае событие А называется зависимым от события В.

• Теорема. Вероятность произведения, или совместного наступления, нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленные в предположении, что все предшествующие события имели место: Р(А 1 А 2. . . Ап)=Р (А 1)Р (А 2/ А 1)…Р (Аn/ А 1 А 2. . . Ап-1)

• Следствие. Вероятность произведения независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е. для независимых событий формула принимает вид: Р(А 1 А 2. . . Ап)=Р (А 1)Р (А 2)…Р (Аn)

Теорема сложения вероятностей совместимых событий • Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Формула полной вероятности. • Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В 1, В 2, . . . , Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)= (В 1)Р(В 1/А) + Р(В 2)Р(В 2/А) +. . . + Р(Вn)Р(Вn/А)

Повторение испытаний. Формула Бернулли • Определить вероятность того, что в результате проведения п независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно т раз, если в каждом из этих испытаний данное событие наступает с постоянной вероятностью Р(А) = р.

• Данная формула носит название формулы Бернулли • Формула Бернулли имеет очень важное значение в теории вероятностей, так как она связана с повторением испытаний в одинаковых условиях, т. е. с такими условиями, в которых как раз и проявляются законы теории вероятностей.