Основы теории вероятностей Тема 1 План лекции

Основы теории вероятностей Тема 1

План лекции: • • 2/17/2018 Случайное событие. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Законы распределения случайных величин (биноминальный, Пуассона, Максвелла, Больцмана). Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 2

Виды событий События Достоверные Невозможные Случайные Достоверные события всегда происходят при осуществлении данной совокупности условий Невозможные события никогда не происходят при осуществлении данной совокупности условий Случайные события могут произойти или не произойти при осуществлении данной совокупности условий 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 3

• • Несовместными называются события, которые не могут одновременно произойти в одном испытании Совокупность случайных событий А 1, А 2, А 3, …Аn называется полной группой для данного испытания, если в результате испытания обязательно происходит только одно из событий этой совокупности • Два события (А и ) называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого противоположное событие (читается «не А» ) 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 4

Алгебра событий • Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие А+В состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из них • Произведением (совмещением) двух событий А и В называется событие АВ состоящее в их совместном появлении 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 5

• • • Пример: В поле наблюдения микроскопа находятся четыре клетки. За время наблюдения каждая из них может как разделиться, так и нет. Рассматриваются события: А – разделилась ровно одна клетка В – разделилась хотя бы одна клетка С – разделилось не менее двух клеток D – разделились ровно две клетки E – разделились ровно три клетки F – разделились ровно четыре клетки В чем состоят события: 1) А+B; 2) АB; 3) В+C; 4) ВC; 5) D+E+F; 6) BF? Верны ли равенства: 7) BF=C; 8) ВC=D? Ответы: 1)B; 2) А; 3) B; 4) C; 5) C; 6) F; 7) верно; 8) нет 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 6

Пример: Из множества обследованных детей наугад выбирается одна пара. События: • А – первый ребенок болел коклюшем; • В – второму ребенку сделана прививка; • С – второй ребенок тоже болел коклюшем. Выяснить смысл событий: АС, ВС, АВС, , , В +А. Ответы: 2/17/2018 l АС – оба ребенка болели коклюшем; l ВС – второму ребенку сделана прививка, но он болел коклюшем; l АВС – оба ребенка болели коклюшем, причем второму сделана прививка; l – оба ребенка болели коклюшем, причем второму не сделана прививка; l – второму ребенку сделана прививка, он не болел коклюшем; l В +А – либо первый, либо второй ребенок болел коклюшем. Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 7

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных событий (m) к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных событий (n), образующих полную группу. 2/17/2018 Чтобы рассчитать классическую вероятность необходимо до проведения испытаний теоретически подсчитать: l общее число всех равновозможных несовместных элементарных событий (n) l число благоприятствующих этому событию равновозможных несовместных элементарных Кафедра 8 событий (m) физики Волг. ГМУ_Ларина М. В.

Комбинаторика • Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число возможных перестановок рассчитывается по формуле: Pn = n!, n!= 1∙ 2∙ 3∙…∙n, причем 0!=1, 1!=1 • Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 9

• Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждом, которые отличаются хотя бы одним элементом Пример: Приема у зубного врача ожидают 3 мужчин и 5 женщин. Врач вызывает двоих. Какова вероятность того, что зайдут один мужчина и одна женщина? Решение: 1) Число общих исходов (способы, которые позволяют вызвать 1 мужчину и 1 женщину из 8 человек) 2) Число благоприятных исходов для мужчин - , для женщин Вероятность 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 10

Статистическое определение вероятности • Относительной частотой W(А) события А называется отношение числа опытов (m), в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов (n). • Относительная частота меняется для данного события мало – тем меньше, чем больше число испытаний. • Вероятностью события А называют число, к которому стремится относительная частота события А при увеличении числа испытаний. 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 11

• • • Чтобы рассчитать статистическую вероятность необходимо после проведения испытаний подсчитать: общее число всех проведенных испытаний (n) число испытаний, в которых появилось событие А (m) рассчитать относительную частоту W(A) Пример: При стоматологическом обследовании 250 студентов, у 125 человек был обнаружен пульпит, у 75 -периодонтит, у 50 вторичный кариес. Какова вероятность заболевания вторичным кариесом у студентов? Решение: 1. 2. 2/17/2018 общее число всех проведенных испытаний=250 число испытаний, в которых появилось событие А=50 Относительная частота: Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 12

Свойства вероятности: l l Вероятность невозможного события Р=0 l 2/17/2018 Вероятность достоверного события Р=1 Вероятность случайного события 0

Теоремы сложения и умножения вероятностей • Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Следствие: • Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу равна 1. Р(А 1+А 2+…+Аn)=Р(А 1)+Р(A 2)+…+P(An)=1 Для противоположных событий 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 14

• Вероятность появления одного из двух совместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ) • Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(А∙В)=Р(А)∙Р(В) События называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления второго. 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 15

• Условной вероятностью PA(B) называют вероятность события В, вычисленную при условии, что событие А уже произошло: PA(B)= P(A В)/Р(А) • Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(A В)=P(A) PA(B) 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 16

Формула полной вероятности • Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В 1, В 2, В 3, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В 1)РВ 1(А)+Р(В 2)РВ 2(А)+… +Р(Вn)PBn(A) 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 17

Теорема гипотез (формула Байеса) Задача: Имеется полная группа несовместных событий В 1, В 2, В 3, …, Вn. Их называют гипотезами, т. к. неизвестно заранее какое из них приведет к появлению события А. Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Спрашивается, как изменится вероятность гипотез в связи с появлением этого события? По существу необходимо найти условную вероятность PA(Bi) для каждой гипотезы. 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 18

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как проведено испытание, в результате которого произошло событие А. 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 19

• • 2/17/2018 Пример: Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0, 8, для второго – 0, 4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. Решение: До опыта возможны гипотезы: В 1– ни первый, ни второй стрелки не попали в цель В 2– оба попали в цель В 3– первый стрелок попал, а второй промахнулся В 4– первый стрелок не попал, а второй попал Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 20

Вероятности этих гипотез: • • Р(В 1) =0, 2∙ 0, 6=0, 12 Р(В 2) =0, 8∙ 0, 4=0, 32 Р(В 3) =0, 8∙ 0, 6=0, 48 Р(В 4) =0, 2∙ 0, 4=0, 08 • Условные вероятности события А (попадания в цель) при этих гипотезах равны: PA(B 1)=0; PA(B 2)=0; PA(B 3)=1; PA(B 4)=1. • После опыта гипотезы B 1 и B 2 становятся невозможными (т. к. есть одно попадание). 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 21

• Считаем вероятность гипотез B 3 и B 4 Вывод: более вероятно, что цель поражена первым стрелком 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 22

Биноминальное распределение. Формула Бернулли. Задача: Какова вероятность появления события А при проведении серии испытаний при одних и тех же условиях? Допущения: • Вероятность ожидаемого события Р(А)=р остается постоянной в каждом испытании • Учитываются только два исхода: появление события А или его альтернатива • Р( )=q, причем p+q=1 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 23

• Формула Бернулли описывает вероятность появления Рn(k) события А в n независимых испытаниях k раз. с учетом, что имеем формула Бернулли 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 24

Распределение Пуассона • Предельный случай биноминального распределения, когда вероятность ожидаемого события А очень мала (p 0, а вероятность альтернативы q 1 ). Часто распределение Пуассона называют законом редких явлений. • Распределение Пуассона характеризуется средней арифметической и дисперсией σ2 = D причем • Принято считать формула Пуассона 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 25

Распределение Максвелла • распределение Максвелла – это распределение газовых молекул по скоростям. В равновесном состоянии макроскопические параметры газа (Р, V, Т) остаются постоянными, а микросостояния меняются функция распределения наиболее вероятная скорость молекул средняя скорость молекул 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 26

Распределение Больцмана • распределение Больцмана – это распределение частиц в силовых полях (гравитационном, электромагнитном и т. п. ) распределение Больцмана При сравнении распределений Больцмана и Максвелла видно, что это распределения частиц по энергиям (потенциальной и кинетической) 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 27

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ 2/17/2018 Кафедра физики Волг. ГМУ_Ларина М. В. 28