Основы теории вероятностей. Случайные события. Определение. Классификация Ø Относительная частота случайного события. Свойство статистической устойчивости Ø Вероятность случайного события. Аксиомы теории вероятности Ø Основные теоремы теории вероятностей Ø Лекция по математике «Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе» А. Дюма
Историческая справка n n Основателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма, жившие в середине XVII века. Одно из первых исследований в области теории вероятностей работа Х. Гюйгенса «О расчетах при игре в кости» . Большой вклад в развитие теории вероятностей внес швейцарский ученый XVIII в. Я. Бернулли, значительное влияние на ее развитие оказали А. Муавр (XVII в. ), Т. Байес, П. Лаплас, К. Гаусс, С. Пуассон (XVIII в. ). Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли и русские ученые XIX-XX веков – П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров. Б. Паскаль П. Ферма Х. Гюйгенс Я. Бернулли П. Лаплас К. Гаусс С. Пуассон П. Л. Чебышев А. Муавр А. М Ляпунов Т. Байес А. Н. Колмогоров
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности, присущие случайным событиям массового характера Теория вероятностей изучает n Случайные события n Случайные величины n Случайные процессы
«Глядя на мир, нельзя не удивляться» Козьма Прутков Человека окружает мир событий С точки зрения математики событие является исходом опыта (или испытания). Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. При этом под опытом (испытанием) понимается воспроизведение какоголибо комплекса условий для наблюдения исследуемого явления.
Пример Испытание – спортсменка стреляет из лука по мишени Событие – выбитое количество очков События принято обозначать : A, B, C. D…
События, которые происходят всегда при данных условиях, называются достоверными. События, которые не могут произойти при данных условиях, называются невозможными События, которые в данных условиях либо происходят, либо нет называются случайными.
Исход опыта, в котором наблюдается интересующее нас событие, называется благоприятствующим этому событию (или просто благоприятным исходом). Исходы называются равновозможными, если есть основания считать, что ни один из них не является более возможным, чем другие. Пример 1 Бросание монеты. Испытание имеет два возможных исхода – выпадение «герба» или «решки» . Пример 2 Бросание игральной кости. Испытание имеет следующие возможные исходы – выпадение « 1» , « 2» , « 3» , « 4» , « 5» , « 6» . Случайные события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. События Ak (k = 1, 2, . . . , n) образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и при испытании неизбежно произойдет одно из этих событий.
Классификация случайных событий: § несовместные § События А, В, С… называются несовместными, если наступление какоголибо из них исключает возможность появления другого события этой совокупности (в условиях данного испытания!)
§ совместные § События А, В, С… называются совместными, если в условиях данного испытания появление одного из них не исключает возможность появления другого события этой совокупности (в условиях данного испытания!)
§ равновозможные § События А, В, С… называются равновозможными, если в условиях данного испытания нет оснований предполагать большую возможность появления одного из них по отношению к другим
§ единственно возможные § События А, В, С… называются единственновозможными, если в условиях данного испытания хотя бы одно из них обязательно происходит
§ противоположные § Два единственно Пример: при бросании игральной кости - выпадение « 1» - выпадение «только не 1» возможных и несовместных события называются противоположными и
2. Относительной частотой события p* в рассматриваемой серии опытов называется отношение числа повторений события m. A к общему числу произведенных испытаний n: Данные В. Феллера: Выполнено 10 серий испытаний по бросанию монеты. В каждой серии 1000 испытаний. Событие – выпадение орла в каждой из серий: 501, 485, 509, 536, 485, 488, 500, 497, 494, 484. Очевидно, что относительная частота события в каждой из серий соответственно равна: Относительная частота события определяется лишь после того, как результаты опыта становятся известными Очевидно, в данном примере Случайность ? !
Относительная частота случайного события обладает свойством статистической устойчивости в том смысле, что при многокрактом повторении серии испытаний ее значение мало меняется n Пример 1 На 1000 детей в Европе в среднем рождается 515 мальчиков (А) и 485 девочек (В) n Пример 2 Из 1000 европейцев в среднем 390 имеют группу крови О, А – 369, В – 235, АВ - 6
3. Понятие вероятности случайного события Числовой характеристикой объективной возможности наступления случайного события в определенных условиях служит вероятность случайного события Существует несколько определений вероятности случайного события: - классическое - статистическое - геометрическое
§ Статистическое определение вероятности (Мизес – нем. мат) § Пример: Вероятность того, что наугад выбранный донор имеет 4 группу крови = 0. 006 § Геометрическое определение вероятности
Классическое определение вероятности случайного события (1812 г. – Лапласс) Если события равновозможные, то Вероятность случайного события A определяется по формуле: где m – число благоприятных исходов события; n – общее число возможных исходов. АКСИОМЫ (свойства вероятности): Вероятность достоверного события равна 1 (так как m = n). 2. Вероятность невозможного события равна 0 (так как m = 0). 3. Вероятность случайного события: 1. Противоположным событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит. 4. Вероятность противоположного события можно определить из формулы: Два противоположных события образуют полную группу событий.
Пример 1 Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб» . 1 -е бросание герб Событие А – при бросании монеты хотя бы один раз появится «герб» . Пример 2 решка герб решка Решение 2 -е бросание решка Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа. Решение ( « 2» , « 4» , « 6» ), Событие А – выпадение на игральной кости четного числа. ( « 1» , « 2» , « 3» , « 4» , « 5» , « 6» ). Вероятность выпадения нечетного числа: Пример 3 Какова вероятность с первого раза наугад открыть кодовый замок, содержащий четыре диска с десятью цифрами? Решение
4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 4. 1. Произведение событий. Теоремы умножения n Произведением событий А и В называется такое событие С, которое состоит в том, что происходит и событие А и событие В Здесь надо различать зависимые и независимые события. n События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет (верно и обратное утверждение) n Событие А и В называются зависимыми, если вероятность события А зависит от того произошло событие В или нет n Вероятности зависимых событий называются условными и обозначаются
§ Теорема умножения: Вероятность совместного появления событий А и В равна произведению их вероятностей § Для независимых событий § Для зависимых событий
4. 2. Сложение событий. Теоремы сложения случайных событий Суммой событий А и В называется такое событие С, которое состоит в том, что происходит по крайней мере одно из них (С= А или В) § Теорема сложения: Вероятность появления события А или В равна сумме их вероятностей § Для несовместных событий § Для совместных событий
Задача: Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы 0. 8, а после каждого выстрела уменьшается на 0. 1. Найдите вероятность того, что он а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза § Вначале введем обозначения Событие А – попадание при первом выстреле Решение а) событие D – три промаха из трех б) событие К – хотя бы одно попадание из трех Событие В – попадание при втором выстреле Событие С – попадание при третьем выстреле в) событие М – два попадания из трех
4. 3. Формула полной вероятности § Пусть события Н 1, Н 2, Н 3… Hn образуют полную систему, и их вероятности известны § Имеется некоторое событие А, которое может произойти при условии, что произойдет одно из событий § Тогда вероятность появления события А будет определяться по формуле полной вероятности например, вероятность заболевания Например, наличие какогонибудь симптома А при данном заболевании Например, наличие симптома А у произвольно взятого больного
Задача: Известно, что 5% всех мужчин и 0. 25% всех женщин страдает дальтонизмом. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом § Введем обозначения: § Событие А – выбранный человек страдает дальтонизмом § Событие Н 1 – выбранный человек- мужчина § Событие Н 2 - выбранный человек – женщина § Пусть § По условию Решение Событие А может проявиться, если выбранный человек мужчина и дальтоник или если выбранный человек – женщина и дальтоник Т. е. мы воспользовались формулой полной вероятности
4. 4. Формула Байеса (формула проверки гипотез) § Пусть событие А имело место (произошло), тогда условные вероятности событий § Находятся по формуле Байеса § Пример: выбранный человек оказался дальтоником (событие А произошло). Какова вероятность, что этот человек – мужчина?
4. 5. Если испытания независимые § 4. 5. 1. Формула Бернулли Вероятность того, что событие А произойдет m раз из n испытаний определяется по формуле Бернулли р - вероятность события А в отдельном испытании
Запомните, что Задача: В сентябре в среднем 8 дней дождливые. Какова вероятность, что из 10 дней отгула только 1 окажется дождливым Ведем обозначения: Событие А – дождливый день § Тогда по формуле Бернулли
4. 5. 2. Локальная теорема Муавра-Лапласа Если число испытаний велико (n>20), то пользоваться формулой Бернулли затруднительно. В этом случае используют приближенные формулы вычисления вероятностей. При n>20 и p>0. 1 вероятность появления события А m раз из n испытаний приближенно вычисляется по локальной теореме Муавра-Лапласа где - аргумент четной функции Лапласа
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0, 0 0, 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0, 1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0, 2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0, 3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0, 4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0, 5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0, 6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0, 7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0, 8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0, 9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1, 0 0, 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1, 1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1, 2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1, 3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1, 4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1, 5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1, 6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1, 7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1, 8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
4. 5. 3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Вероятность того, что событие А из n испытаний появится не менее m 1 и не более m 2 раз определяется приближенно по интегральной теореме Муавра-Лапласа где - аргументы нечетной функции Лапласа
x 0, 96 0, 97 0, 98 0, 99 1, 00 1, 01 1, 02 1, 03 1, 04 1, 05 1, 06 1, 07 1, 08 1, 09 1, 10 1, 11 1, 12 1, 13 1, 14 1, 15 1, 16 1, 17 1, 18 1, 19 Ф(x) 0, 3315 0, 3340 0, 3365 0, 3389 0, 3413 0, 3438 0, 3401 0, 3485 0, 3508 0, 3531 0, 3554 0, 3577 0, 3599 0, 3621 0, 3643 0, 3665 0, 3686 0, 3708 0, 3729 0, 3749 0, 3770 0, 3790 0, 3810 0, 3830 x 1, 37 1, 38 1, 39 1, 40 1, 41 1, 42 1, 43 1, 44 1, 45 1, 46 1, 47 1, 48 1, 49 1, 50 1, 51 1, 52 1, 53 1, 54 1, 55 1, 56 1, 57 1, 58 1, 59 1, 60 Ф(x) 0, 4147 0, 4162 0, 4177 0, 4192 0, 4207 0, 4222 0, 4236 0, 4251 0, 4265 0, 4279 0, 4292 0, 4306 0, 4319 0, 4332 0, 4345 0, 4357 0, 4370 0, 4382 0, 4394 0, 4406 0, 4418 0, 4429 0, 4441 0, 4452 x 1, 78 1, 79 1, 80 1, 81 1, 82 1, 83 1, 84 1, 85 1, 86 1, 87 1, 88 1, 89 1, 90 1, 91 1, 92 1, 93 1, 94 1, 95 1, 96 1, 97 1, 98 1, 99 2, 00 2, 02 Ф(x) 0, 4625 0, 4633 0, 4641 0, 4649 0, 4656 0, 4664 0, 4671 0, 4678 0, 4686 0, 4693 0, 4699 0, 4706 0, 4713 0, 4719 0, 4726 0, 4732 0, 4738 0, 4744 0, 4750 0, 4756 0, 4761 0, 4767 0, 4772 0, 4783 x 2, 36 2, 38 2, 40 2, 42 2, 44 2, 46 2, 48 2, 50 2, 52 2, 54 2, 56 2, 58 2, 60 2, 62 2, 64 2, 66 2, 68 2, 70 2, 72 2, 74 2, 76 2, 78 2, 80 2, 82 Ф(x) 0, 4909 0, 4913 0, 4918 0, 4922 0, 4927 0, 4931 0, 4934 0, 4938 0, 4941 0, 4945 0, 4948 0, 4951 0, 4953 0, 4956 0, 4959 0, 4961 0, 4963 0, 4965 0, 4967 0, 4969 0, 4971 0, 4973 0, 4974 0, 4976
4. 5. 4. Формула Пуассона (вероятность редких событий) Если n – велико, а событие А редкое, т. е. (р<0. 1), то необходимо вычислить Если используем формулы Муавра Лапласа Если используем формулу Пуассона где
Задача: Среди 1100 студентов левши составляют 1%. Чему равна вероятность того, что из общего количества студентов а) ровно 11 левшей; б) не менее 20 левшей Анализируем: n=1100 – велико p=0. 01 – мало (<0. 1) Следовательно, формула Бернулли будет громоздка. Вычисляем npq, где q=1 -p=0. 99 npq=1100*0. 01*0. 99=10. 89>9 Можно использовать формулы Муавра -Лапласа
а) Вероятность того, что из 1100 студентов ровно 11 являются левшами б) вероятность того, что из 1100 студентов не менее 20 левшей, т. е. (20<m<1100)
Скачать презентацию Основы теории вероятностей Случайные события Определение Классификация Ø
TV-sl_sobytia.ppt