Основы теории подобия и анализа размерностей Лекция № 3
l l При изучении физических явлений часто приходится прибегать к их моделированию, для чего могут быть использованы как математические, так и физические модели. Применение математических моделей предпочтительнее. Однако в тех случаях, когда математическое описание явления слишком сложно, прибегают к помощи эксперимента. Его проведение на реальных (промышленных) установках требует больших денежных, трудовых, временных затрат. В связи с этим экспериментальные исследования целесообразнее проводить на моделях, размеры которых могут быть меньше реальных установок, а условия проведения экспериментов – проще. Необходимым условием проведения экспериментов на моделях является соответствие результатов, полученных на моделях, реальному процессу. Для выполнения этого условия используют методы теории подобия. Теория подобия является основой моделирования и масштабирования процессов. Кроме того, это метод научного обобщения результатов эксперимента, т. е. распространение результатов, полученных для одного явления, на целую группу подобных явлений.
1. Понятие подобия физических явлений l l l Подобными могут быть явления, принадлежащие к одному классу. Например, гидромеханическое явление может быть подобно только гидромеханическому явлению; тепловое – тепловому; массообменное – массообменному. Более того, подобными могут считаться явления, принадлежащие к одной группе. Например, в гидромеханике вынужденному движению жидкости в трубопроводах может быть подобно только вынужденное движение жидкости в трубопроводах; в тепловых процессах – теплообмену при свободной конвекции может быть подобен только теплообмен при свободной конвекции. Наконец, подобными считаются те явления, которые описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями (системами уравнений).
l Необходимыми элементами подобия являются: геометрическое подобие, временное подобие и подобие физических величин. l Геометрическое подобие предполагает, что явления протекают в геометрически подобных системах. Таким образом, каждой точке одной системы соответствует сходственная ей точка в другой геометрически подобной системе. l В геометрически подобных системах отношение сходственных отрезков является постоянной величиной и называется константой геометрического подобия: Сℓ = ℓ ` / ℓ `` , где ℓ ` и ℓ `` – сходственные отрезки.
l Временное подобие подразумевает подобное протекание явлений во времени, т. е. некоторому моменту времени в одной системе соответствует сходственный момент времени в другой подобной системе. При этом именно в сходственные моменты времени явления подобны. Понятие временного подобия существенно лишь для нестационарных (неустановившихся) процессов, то есть таких, у которых параметры изменяются с течением времени. l В подобных явлениях отношение сходственных отрезков времени является постоянной величиной и называется константой временного подобия: где ` и С = ` / `` , `` – сходственные отрезки времени.
l Подобие физических величин заключается в том, что сходственные (одноименные) величины отличаются лишь масштабом. l Отношение одноименных величин в сходственных точках в сходственные моменты времени определяется константами подобия соответствующих физических величин: Сw – константа подобия скоростей; СF – сил; Сm – масс и т. п. l Таким образом, в подобных явлениях в любых сходственных точках, в любые сходственные моменты времени отношение одноименных величин, характерных для данного явления, постоянно.
2. Теоремы подобия В основе применения теории подобия лежат три теоремы подобия. Первая теорема подобия (теорема Ньютона) гласит, что подобные явления в сходственных точках, в сходственные моменты времени характеризуются численно равными критериями подобия. l При этом под критериями подобия подразумеваются безразмерные комплексы, составленные из величин, характерных для данного явления. l Первая теорема подобия на вопрос, какие величины следует измерять в процессе эксперимента, отвечает, что следует измерять величины, входящие в критерии подобия.
Вторая теорема подобия (теорема Бэкингема) утверждает, что решение любого дифференциального уравнения (системы уравнений), связывающего между собой переменные, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, составленными из этих переменных. l Вторая теорема подобия на вопрос, в каком виде следует представлять результаты эксперимента, отвечает, что результаты эксперимента следует представлять в виде зависимости между критериями подобия. Такая зависимость называется уравнением подобия или критериальным уравнением.
l В критериальные уравнения входят критерии подобия, известные по условию задачи (полностью составленные из величин, входящих в условия однозначности). Такие критерии называются определяющими. l Критерии подобия, включающие неизвестные (подлежащие определению) величины, называются определяемыми. l Критериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерия от соответствующих определяющих критериев.
Третья теорема подобия (теорема Кирпичева) устанавливает необходимые и достаточные условия подобия явлений – одинаковость систем дифференциальных уравнений, описывающих явления и подобие условий однозначности. l Подобие условий однозначности предполагает численное равенство критериев подобия, составленных из величин, входящих в условия однозначности (определяющих критериев).
l Применение метода теории подобия предполагает наличие теоретического и экспериментального этапов исследования. На первом (теоретическом) этапе путем анализа дифференциальных уравнений, описывающих явление, определяется количество и вид критериев подобия, характерных для данного явления. Однако конкретный вид зависимости между полученными критериями подобия устанавливается на основании эксперимента. l Полученная в результате зависимость между критериями подобия обладает высокой степенью обобщения, так как она справедлива не только для данного явления, а для целой группы подобных явлений.
3. Пример применения теории подобия В качестве примера возьмем процесс движения тела с ускорением, который описывается вторым законом Ньютона. Рассмотрим два подобных явления. Величины, относящиеся к первому явлению, отметим штрихом, ко второму – двумя штрихами: F` = m` ( dw` / d ` ) F`` = m`` ( dw`` / d `` )
Если эти явления подобны, то соотношения между одноименными физическими величинами определяются соответствующими константами подобия: F` / F`` = CF m` / m`` = Cm w` / w`` = CW ` / `` = C
Используя константы подобия, выразим величины первого явления через соответствующие величины второго: F` = F`` * CF m` = m`` * Cm w` = w`` * CW ` = `` * C
Подставим полученные выражения в уравнение для первого явления. Вынося константы подобия за знак дифференциала как постоянные величины и группируя их в левой части уравнения, получим: CF * C dw`` F`` = m`` Cm * CW d ``
Таким образом, на основе предположения о подобии явлений получено новое уравнение, описывающее второе явление. Но одно и то же явление не может описываться различными уравнениями. Следовательно, оба уравнения для второго явления должны быть эквивалентны, т. е. необходимым условием подобия явлений можно считать соотношение: CF * C =1 Cm * CW следовательно: F`* ` m`* w` = F``* `` m``* w``
l Последнее выражение свидетельствует о том, что для подобных явлений имеет место равенство определенных комплексов, составленных из величин, входящих в уравнение процесса. Эти комплексы и являются критериями подобия. В данном случае речь идет о критерии Ньютона (Ne). l Структура и количество критериев подобия определяются видом уравнений (систем уравнений), описывающих тот или иной процесс. При этом метод получения критериев подобия остается неизменным – универсальным и, как видно из примера, простым и легко применимым к достаточно сложным математическим моделям.
l Конкретный вид уравнения подобия (чаще всего это степенная функция) определяется экспериментально для принятого в эксперименте диапазона изменения критериев подобия. l Набор критериев подобия, входящих в критериальное уравнение, характеризует группу подобных явлений, для которой критерии подобия принимают соответствующие численные значения. l Уравнение подобия описывает все подобные явления, отвечающие принятому диапазону изменения критериев, т. е. обладает исключительно высокой степенью обобщения.
Скачать презентацию Основы теории подобия и анализа размерностей Лекция
ПАПП Лекция 3.ppt