Основы теории пластичности Диаграмма

Основы теории пластичности

Диаграмма деформирования стали D σ K G B C σпц A σразг σ σв σT разг M N J H 0 р ε e разр e разр

Модель идеального упруго- Модель пластического тела жесткопластического тела σ σT σT 0 εT ε 0 ε σ C σ A β 1 A B σT β 0 ε 0 εεT ε εT T* Диаграммы с площадкой текучести и упрочнением

Варианты схематизации экспериментальной диаграммы σ Мн/м 2 C 1 Экспериментальная C диаграмма Диаграммы с 600 B 1 линейным A упрочнением B 400 С - при - при 200 Диаграмма со степенным упрочнением 0 2, 5 5 7, 5 ε%

Нелинейно упругий материал Нагружение B A Нагружение Разгрузка С εie εi 0 εip εie εi а б

Напряженное и деформированное состояние в точке тела Тензор напряжений Шаровой тензор Девиатор Разложение тензора напряжений Среднее напряжение Уравнение для определения главных напряжений первый (линейный), второй (квадратичный) и третий (кубический) инварианты

Инварианты тензора напряжений Инварианты девиатора Второй инвариант девиатора тензора напряжений Интенсивность напряжений

Тензор деформаций Разложение тензора деформаций Шаровой тензор Девиатор тензора деформаций Второй инвариант девиатора тензора деформаций Интенсивность деформаций

Понятие о секущем и касательном модулях σi 1 σi 1 εi 1 εi Секущий модуль Касательный модуль

Общими для деформационных теорий пластичности и теории течения являются следующие допущения: 1) объемная деформация твердого тела описывается шаровым тензором напряжений и не зависит от компонентов девиатора напряжений , а деформацию формы вызывает девиатор напряжений. 2) зависимость между компонентами и одинакова при одноосном, двухосном и трехосном напряженном состоянии твердого тела, 3) напряженное и деформированное состояние твердого тела являются подобными. Необходимо определить или Это эквивалентно поиску равенств

Теория малых упруго-пластических деформаций Ильюшина А. А. Теория А. А. Ильюшина основана на трех гипотезах. 1. Закон изменения объема: Относительное изменение объема прямо пропорционально среднему нормальному напряжению где объемный модуль упругости К равен Возможна и частная формулировка первой гипотезы: при пластических деформациях изменения объема не происходит. Если , а величина конечная, то, следовательно, K стремится к бесконечности. Поэтому в выражении для объемного модуля упругости положить коэффициент Пуассона В этом случае материал тела считается несжимаемым.

2. Закон изменения формы. Компоненты девиатора деформаций – пропорциональны компонентам девиатора напряжений где – коэффициент пропорциональности. Уравнения Генки

Из условия соосности тензоров напряжений и деформаций А. А. Ильюшин установил, что для несжимаемого тела Таким образом, для несжимаемого тела имеем следующие физические уравнения деформационной теории пластичности

3. Закон единой кривой деформирования, предполагающий, что для всех видов напряженного состояния (одноосного, двухосного и трехосного) в условиях простого нагружения справедлива единая зависимость О математической формулировке зависимостей между интенсивностями напряжений и деформаций 1. Степенной закон Бюльфингера 2. Комбинированная степенная зависимость

Физические уравнения деформационной теории пластичности

Уравнение изгиба балки из нелинейно-упругого материала Уравнение равновесия (статика) Геометрическое уравнение Физическое уравнение где жесткость балки нелинейное дифференциальное уравнение изгиба балки

В развернутом виде это уравнение имеет вид Граничные условия те же, что и в линейных задачах Вычисление жесткости балки при изгибе Экспериментальную диаграмму деформирования записываем в виде Секущий модуль имеет вид

Расчет балки методом Бубнова-Галеркина Прогиб балки ищем в виде Вариационное уравнение метода Б-Г имеет вид Первое приближение

В качестве аппроксимирующей функции в первом приближении возьмем линию прогибов упругой балки при заданной нагрузке и заданных граничных условиях. Строим ее известным из курса сопротивления материалов методом начальных параметров, Удельная потенциальная энергия Полная потенциальная энергия изгиба балки Полная энергия изгиба балки

Инкрементальное уравнение изгиба балки из нелинейно-деформируемого материала Уравнение равновесия (статика) Геометрическое уравнение Физическое уравнение

Для диаграммы деформирования получим Приращение удельной потенциальной энергии Приращение потенциальной энергии где Приращение полной энергии имеет вид

Решение в первом приближении методом Р-Т Прогиб и его приращение ищем в виде - функция, построенная методом начальных параметров Приращение полной энергии имеет вид q Условие минимума полной энергии K

Решение инкрементального уравнения методом Б. -Г. Приращение прогиба балки ищем в виде Вариационное уравнение имеет вид Решение в первом приближении