Основы теории графов История возникновения и развития

Основы теории графов

История возникновения и развития теории графов 1736 г. , Леонард Эйлер, задача о кенигсбергских мостах (Г. Кенигсберг расположен на берегах реки Прегель, в городе 7 мостов. Можно ли совершить прогулку, чтобы выйти из дома и вернуться обратно, пройдя по каждому мосту только один раз? ) o Середина XIX в. , Г. Кирхгоф описание с помощью графов электрических цепей, А. Кэли химических схем o Как математическая дисциплина сформировалась в середине 30 -х гг. XX в. (1936 г, выход в свет o

Области применения теории графов o o o Анализ и синтез электрических и пр. цепей и систем, сетевое планирование и управление, исследование операций, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, моделирование жизнедеятельности организмов, исследование случайных процессов и др. Практические проблемы, решение которых сводится к рассмотрению совокупности объектов и связей между ними. Например, карта автомобильных дорог – как связь между населенными пунктами, различные связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще между любыми объектами Многочисленные головоломки и игры на

o Головоломки, в которых требуется обрисовать некоторую фигуру, не прерывая и не повторяя линии, например или Сабли Магомета

Основные определения o o o Граф – это объединение конечного числа точек и линий, которыми соединены некоторые из точек. Точки называют вершинами графа, а линии, их соединяющие – ребрами Число ребер, выходящих из вершины, называется степенью этой вершины

Примеры графов o o Каркас любого многогранника в пространстве Схема линий в метро Структурные формулы молекул Генеалогическое дерево

Примеры задач, решаемых с помощью графов 1. Путешественники o В бюро по туризму составляют маршрут для путешественников, желающих проехать из города А в город В, осмотрев по пути все достопримечательности, расположенные в городах C, D, E, F, G, H, K, M. Составить маршрут поездки нужно таким образом, чтобы туристы посетили все указанные города и побывали в каждом из них ровно по одному разу.

Карта автомобильных дорог

o По условию задачи путешествие должно начаться в пункте А и закончится в пункте В. Заметим, что в города D и F ведут всего две дороги. Значит по этим дорогам путешественники обязательно проедут. Отметим их жирной линией. Тем самым определен участок маршрута CDEFG. Значит по дорогам AE, AG, EM туристы проезжать не будут (иначе они два раза посетят пункт E). Перечеркнем эти дороги. Отметим жирной линией участок AC, поскольку из A осталась только эта дорога. Перечеркнем CM (в С мы уже были). Через М остались неперечеркнуты две дороги: MH и MB, значит по ним туристы и поедут. Отметим их жирной линией. Осталась единственная возможность проехать из G в H

Маршрут для путешественников

o Таким образом, мы нашли нужный маршрут. В этом нам помогла схема расположения городов и дорог, которая является на самом деле графом с 10 вершинами и 17 ребрами. Вершины A, D, F имеют степень два, вершины C и K – степень три, H, M, B – вершины четвертой степени, а G и E – пятой.

2. Знакомства o Может ли так случится, что в компании, состоящей из 8 человек, каждый знаком ровно с двумя другими людьми?

2. Знакомства (решение) o o Сопоставим участникам компании вершины графа, соединим две вершины ребром, если соответствующие два человека знакомы между собой. Чтобы каждый был знаком ровно с двумя другими людьми, любая вершина графа должна иметь степень 2. Примеры таких графов: Раз такие графы существуют, значит ситуация, описанная в задаче возможна.

3. Шахматный турнир o Пусть в турнире должны участвовать n шахматистов, все должны сыграть друг с другом ровно по одной партии. Сопоставим каждому участнику вершину графа, а каждой сыгранной парии ребро графа, соединяющее соответствующие вершины

Полный граф o o o До начала турнира граф состоит только из точек, у него нет ни одного ребра. Такие графы называются нуль-графами По окончании турнира каждый участник сыграл с любым другим и каждая пара вершина соединена между собой ребром. Такой граф называется полным. В полном графе с n вершинами степень каждой вершины равна (n-1) Неполный граф можно превратить в полный, добавив недостающие ребра. На рис. толстой линией изображен граф с 5 вершинами, который не является полным. Добавив

Ориентированный граф o o o Часто связи между объектами характеризуются определенной ориентацией (схема дорог с односторонним движением, подчиненность или старшинство в отношениях между людьми, результаты встреч между командами в спортивных состязаниях) Изображенный нами граф шахматного турнира не дает информации о том, кто же выиграл каждую партию. Можно на каждом ребре ставить стрелочку от вершины А к вершине В, если шахматист А проиграл шахматисту В, т. е. ориентировать ребра, указав на них направление Граф, на котором указано направление каждого ребра, называется

o Граф, содержащий как ориентированные, так и неориентированные ребра, называется смешанным (например, граф шахматного турнира, в котором некоторые партии окончились вничью. Ничейному результату сопоставим ребро без стрелочки)

Маршрут графа o o o Маршрут длины m произвольного графа – это такая последовательность m ребер (не обязательно различных), в которой граничные вершины двух соседних ребер совпадают. Длина маршрута – количество ребер (если по ребру проходим 2 раза, то и считаем это ребро 2 раза) Маршрут замкнутый, если его начальная и конечная вершины совпадают Цепь - незамкнутый маршрут, в котором все ребра различны Простая цепь - цепь, в которой все вершины различны (пример – задача 1. (О путешественниках)

Циклы, связные графы o o o Цикл - замкнутый маршрут, в котором все ребра различны. Простой цикл - цикл, в котором все вершины различны (пример – задача о знакомствах. Первый граф содержит один простой цикл, второй и третий – по два простых цикла) Граф называют связным, если существует маршрут из любой его вершины в любую другую, и несвязным в противном случае (пример – задача о знакомствах, первый граф – связный, каждый человек может познакомится с остальными через своих знакомых, второй и третий – несвязные, в компании так и останутся незнакомые люди)

o o o o B-D-A-C-D-A – незамкнутый маршрут A-C-D-A-B-D-A - замкнутый маршрут A-C-D-E-F-D-B – цепь A-B-G-H – простая цепь A-C-D-E-F-D-A – цикл D-E-F-D – простой цикл Посчитайте длину этих маршрутов Определите к какому типу относятся маршруты A-B-D-F-E-D-C-A; A-D-E; D-E-F-D; A-C-D-B-A;

Деревья o o Дерево – связный граф, не имеющий циклов Генеалогическое дерево, файловая система и пр.

Задача 4. Деление на части o Разрезаем лист бумаги на 3 части. Некоторые из полученных листиков снова разрезаем на 3 части. Некоторые из разрезанных листиков – еще раз на три части и т. д. Сколько получится отдельных листиков, если сделано k разрезаний?

Задача 4. Деление на части (решение) o o Листы бумаги вершины графа. Закрашенные вершины соответствуют разрезанным листикам, незакрашенные – неразрезанным. При разрезании одного листика число листиков увеличивается на 2. Если всего было разрезано k листиков, то число листиков увеличится на 2 k. Первоначально у нас был один лист. , поэтому после k разрезаний получится (2 k+1) листик. На графе проиллюстрирован случай, когда k=6. (2 k+1) =13

Теорема о сумме степеней вершин графа o o Пусть граф Г имеет N вершин и M рёбер. Каждая i-ая вершина имеет степень di Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, оно добавляет двойку к сумме степеней вершин графа, поэтому сумма степеней вершин равна удвоенному количеству ребер

Задача 5. Количество дорог o Может ли в государстве, в котором из каждого города выходят ровно 3 дороги быть ровно 100 дорог?

Задача 5. Количество дорог (решение) o Предположим, такая ситуация возможна. В государстве N городов, из каждого города выходят 3 дороги. Значит мы имеем граф с N вершинами, каждая из которых имеет степень 3. Следовательно, сумма степеней вершин равна 3 N, а число ребер – 3 N/2. Это число по условию равно 100. Т. е. 3 N/2=100 или 3 N=200. Такого натурального числа не существует. Значит в этом государстве не может быть 100 дорог.

Самостоятельно o В некотором царстве царь издал указ: построить 7 городов и соединить их дорогами так, чтобы из каждого города выходило по 3 дороги. Выполним ли такой приказ? Станет ли он выполним, если из каждого города будут выходить 4 дороги?

Задача 6. о кенигсбергских мостах o Г. Кенигсберг расположен на берегах реки Прегель, в городе 7 мостов. Можно ли совершить прогулку, чтобы выйти из дома и вернуться обратно, пройдя по каждому мосту только один раз?

Решение задачи о кенигсбергских мостах o o o Обозначим части города A, B, C, D. Это будут вершины графа. Мосты, соединяющие части города – ребра графа. Эйлер показал, что задача не имеет решения, т. е. не существует цикла, проходящего по всем рёбрам точно по одному разу. Ведь если бы такой цикл существовал, то в каждой вершине графа было бы столько входящих в неё рёбер, сколько и выходящих из неё, т. е. в каждой вершине графа было бы чётное число рёбер (войдя в вершину по одному ребру, мы должны выйти из нее по другому ребру). Однако это условие, очевидно, не выполнено для графа, представляющего карту Кёнигсберга. Убедитесь в этом, определив степень каждой вершины графа

Эйлеров граф o o Изложив решение задачи о кёнигсбергских мостах, Эйлер в своей работе перешёл к следующей общей проблеме теории графов: на каких графах можно найти цикл, содержащий все рёбра графа, причём каждое ребро в точности по одному разу? Такой цикл называется эйлеровой линией или эйлеровым циклом, а граф, обладающий эйлеровой линией, – эйлеровым графом. Итак, эйлеров граф можно обойти полностью, проходя по каждому ребру только один раз. Поэтому эйлеровы графы можно построить, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды.

Необходимое и достаточное условие существования эйлерового графа o o o Для того, чтобы граф имел эйлерову линию, он должен быть связным. Как и в задаче о кёнигсбергских мостах, ясно, что каждая эйлерова линия должна входить в каждую вершину и выходить из неё одно и то же число раз, т. е. степени всех вершин графа должны быть чётными. Значит, чтобы граф был эйлеровым, необходимы два условия: связность графа и чётность степеней всех его вершин. Эйлер доказал, что эти условия являются также и достаточными: связный граф, степени всех вершин которого чётные, обладает эйлеровой линией.

Самостоятельно o Определите, являются ли эти графы эйлеровыми? (можно ли обвести их одним росчерком пера, не прерывая и не повторяя линии, и вернуться в ту точку, с которой начали) Если да, найдите в них эйлеровы циклы (покажите, как это сделать)

Эйлеров путь o o Эйлеров путь – это путь, когда все рёбра проходятся по одному разу, но без возвращения в исходную точку. Если граф не обладает эйлеровым циклом, то можно поставить задачу об отыскании эйлерова пути

Достаточное условие существования эйлерового пути o o Если граф Г обладает эйлеровым путём с концами А и В (А не совпадает с В), то граф Г связный и А и В – единственные нечётные его вершины. Действительно, связность графа следует из определения эйлерова пути. Если путь начинается в А, а заканчивается в другой вершине В, то и А и В – нечётные, даже если путь неоднократно проходил через А и В. В любую другую вершину графа путь должен был привести и вывести из неё, т. е. все остальные вершины должны быть чётными.

Необходимое условие существования эйлерового пути o o Верно и обратное: если граф Г связный, а А и В – единственные нечётные вершины его, то граф Г обладает эйлеровым путём с концами А и В. Вершины А и В могут быть соединены ребром в графе, а могут быть и не соединены. В любом случае добавим либо дополнительное, либо новое ребро (А, В), тогда все вершины его станут чётными. Новый граф, согласно приведённому выше конструктивному доказательству достаточного условия существования эйлерового графа, обладает эйлеровым циклом, который можно начать по любому ребру. Начнём эйлеров цикл из вершины А по добавленному ребру (А, В) и кончим его в вершине А. Если удалить теперь

Применение теоремы об эйлеровом пути o o Таким образом, всякую замкнутую фигуру, имеющую в точности две нечётные вершины, можно расчертить одним росчерком без повторений, начав в одной из нечётных вершин, а закончив в другой. В соответствии с этой теоремой через кёнигсбергские мосты не существует эйлерова пути, так как хотя соответствующий граф связный, но степени всех его вершин нечётные, а должно быть только две вершины нечётными, а остальные чётными, чтобы существовал эйлеров путь

Самостоятельно o В соответствии с теоремой об эйлеровом пути определите: существует ли эйлеров путь в графах? (можно ли расчертить одним росчерком без повторений, начав в одной из вершин, а кончив в другой). Если существует, найдите его (покажите, как это сделать)

Задача 7. 2. О кенигсбергских мостах для воображаемого города (самостоятельно) o На рисунке план воображаемого города, который Эйлер использовал для иллюстрации в своей работе. Начертите граф для плана Эйлера и определите, существует ли в нём эйлеров цикл? А эйлеров путь? Если да – то найдите его

Задача 8. Зоопарк (самостоятельно) o На рисунке схема зоопарка (вершины графа – вход, выход, перекрёстки, повороты, тупики, рёбра-дорожки, вдоль которых расположены клетки). Найдите маршрут, по которому экскурсовод мог бы провести посетителей, показав им всех зверей и не проходя более одного раза ни одного участка пути, т. е. найдите эйлеров путь.