Основы теории двойственности Решение пары сопряженных задач прямая

Основы теории двойственности Решение пары сопряженных задач (прямая - двойственная) Доцент, кандидат технических наук Ротарь Виктор Григорьевич 1 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Сопряженные задачи: ПРЯМАЯ max (1) i=1, m 1 (2) Þ , i= m 1 , m j= 1 , n 1 (4) j= n 1, n 2 (3) (5) © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Сопряженные задачи линейного программирования: ДВОЙСТВЕННАЯ => min j=1, n 1, (7) j= n 1 , n (8) i= 1, m 1 3 (6) (9) i= m 1, m (10) © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Таблица двойственных переходов Прямая [m, n] Двойственная [n, m] 1 2 n - число переменных, X= (x 1, …, xj, …xn) n – число ограничений 3 m – число ограничений m – число переменных, Y= (y 1, …, yi, …ym) 4 Cj - коэффициенты в ц. ф. (1) Cj – правая часть (7, 8) 5 bj - правая часть в системе (2, 3) bj – коэффициенты в целевой (6) 6 Ограничения Переменные (9) 7 Ограничения – (3) => Переменные (10) 8 Переменные (4) => Ограничения (7) 9 4 Максимизировать Z(X) Переменные (5) => Ограничения (8) 10 A= ||aij||mxn AT= ||aji||nxm "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г. (2) => (1) Минимизировать L(Y) (6) © ОСУ-ществляющий обучение

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ (Т 1) Если и исходная (прямая) и двойственная ей задачи имеют допустимые решения, то: 1) существует оптимальное решение xj* (j =1, 2, . . . , n) прямой (исходной) задачи; 2) существует оптимальное решение yi* (i = 1, 2, …, m) двойственной задачи; 3) имеет место следующее соотношение: Z(X*)= L(Y*) 5 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СРС 6: Доказать на примере задач СРС 1 и СРС 3(4, 5) справедливость утверждения Т 1 l l 6 В случае разрешимости пары сопряженных ЗЛП На оптимальный планах прямой и двойственной задачи значения целевых функций совпадает Следствие из теоремы Т 1 для случая «Нет решения» (В 1, В 2) ЦФ не ограничена сверху (снизу) Система условий несовместна В 1 =>B 2 и наоборот В 2=> B 1 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ (Т 2) l l 7 ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Сопряженная пара двойственных условий Жёсткое (закрепленное) и мягкое (сводное) условие Т 2: На оптимальных планах прямой и двойственной задач в каждой паре сопряженных двойственных условий одно - жёсткое (закрепленное) другое – мягкое (сводное) © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

«БАРАШКИ» второй теоремы двойственности 8 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ЭКОНОМИКА «БАРАШКА 10» 10. Фирма будет производить товар (услугу) j , если рыночная цена Сj единицы товара (услуги) соответствует издержкам на оплату расходуемых ресурсов на его (её) производство 9 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ЭКОНОМИКА «БАРАШКА 20» 20. Фирма не будет производить товар (услугу) j , если рыночная цена Сj единицы товара (услуги) меньше издержек на оплату необходимых для её производства ресурсов 10 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ЭКОНОМИКА «БАРАШКА 30» l 11 На рынке будет установлена ненулевая цена в качестве платы за конкретный ресурс если он окажется востребованным (расходуется полностью) при выполнении производственной программы фирмы © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ЭКОНОМИКА «БАРАШКА 40» l 12 Будет установлена нулевая рыночная цена в качестве платы за конкретный ресурс если он не требуется для выполнения конкретной производственной программы фирмы © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ТЕМА СРС 7: ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 13 ЦЕЛЬ: Проверка выполнения положений второй теоремы двойственности ПРИМЕНЕНИЕ Т 2: Возможность найти аналитически решение сопряженной задачи по уже известному оптимальному решению одной из задач двойственной пары (прямая, двойственная), используя утверждения второй теоремы двойственности. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СХЕМА РЕШЕНИЯ / ТЕОРЕМА Т 2/ Действия 1. 2. 3. 14 Записать исходную задачу в канонической форме: привести к виду (1)-(5) либо к (6)-(10), выполнив необходимые эквивалентные преобразования Определить качественно структуру опорного плана сопряженной задачи по известному решению прямой задачи Найти аналитически значения базисных компонентов оптимального опорного плана сопряженной задачи © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Задан Х* Найти Y* ? 1. Канонизируем прямую задачу в виде (1)-(5): Х*=(x 1*, x 2*, …, xj*, …, xn*), Z(X*) 2. Определяем структуру Б опорного плана, т. е. Y* сопряженной (двойственной) задачи по 30 (базисные переменные) и 40 (свободные): 3. Аналитически находим значения базисных Б 15 переменных y*I , базиса Y *, решаем относительно известного качественно базиса систему уравнений из 10 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Задан Y* Найти X* ? 1. Канонизируем двойственную задачу в виде (6)(10): Y*=(y 1*, y 2*, …, yi*, …, ym*), L(Y*) 2. Определяем структуру Б опорного плана, т. е. X* сопряженной (двойственной) задачи по 10 (базисные переменные) и 20 (свободные): 3. Аналитически находим значения базисных переменных Xj>0 базисные переменные Xj=0 свободные переменные Б x*j , базиса X *, решаем относительно базисных переменных систему уравнений из 30 16 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СРС 7: ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ 7. 1. Записать условия сопряженной задачи для задачи планирования выпуска продукции (СРС 1) размерностью [3 х2]. Найти решение двойственной задачи на основе утверждений второй теоремы двойственности 7. 2. Записать условия сопряженной задачи для задачи о раскрое материала (СРС 3) размерностью [2 х5]. Найти решение прямой задачи на основе утверждений второй теоремы двойственности для пары сопряженных задач (прямая - двойственная) 17 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СРС 7. 1: ПРИМЕР 1 Задача о коктейле Прямая[3 x 2]=>Двойственная[2 x 3] Определение качественной структуры базиса Условия 30 и 40 y 1>0 y 2>0 y 3=0 18 © ОСУ-ществляющий КАЧЕСТВЕННАЯ СТРУКТУРА БАЗИСА (y 1>0, y 2>0) обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СРС 7. 1: ПРИМЕР 1 Задача о коктейле (продолжение) Расчет значений базисных переменных Условие 10 X 1>0 X 2>0 Z(Y*)=L(X*)=0, 28571 19 Первая теорема двойственности © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г. выполняется

СРС 7. 2: ПРИМЕР 2 Задача о раскрое материала Двойственная [2 x 3]=>Прямая[3 x 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ БАЗИСА Условия 10 и 20 х1>0 х2>0 y 1>0 y 2>0 20 y 3=0 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СРС 7. 2: ПРИМЕР 2 (продолжение) Задача о раскрое материала РАСЧЕТ ЗНАЧЕНИЙ БАЗИСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 21 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ВСЕГДА!!! 22 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.