Основы нечеткой логики Логико-лингвистические модели Часть I

Основы нечеткой логики Логико-лингвистические модели

Часть I Основы теории нечеткой логики 2

Откуда всё это взялось? Люди, в силу природного эгоизма, склонны оценивать любые данные с точки зрения полезности для СЕБЯ: становятся важны не сами количественные данные, а их интерпретация КАКИЕ понятия, категории использовать для этого? ? ? Большая часть используемых нами понятий по своей природе нечетки и размыты: КАК построить пороговую функцию принадлежности для множеств «взрослый» , «холодный» , «качественный» , «быстрый» и т. д. ? ? ? Множества, для которых функция принадлежности представляет собой не жесткий порог (принадлежит/не принадлежит), а плавную кривую (часто упрощаемую ломаной линией), пробегающую все значения от нуля до единицы – нечеткие множества (fuzzy sets) Барт Коско, один из классиков нечеткой логики: “Бинарная логика - не более чем роковая ошибка античной цивилизации. ” 3

Для чего нужна нечеткая логика? КАК на основе таких понятий (представленных нечеткими множествами) смоделировать процесс человеческих рассуждений ? ? ? создание аппарата, способного моделировать рассуждения на основе сложных причинно-следственных связей – нечеткой логики и нечеткого вывода Нечеткая логика - надмножество булевой логики, расширенной с целью обработки значений истинности между «полностью истинным» и «полностью ложным» на основе нечетких множеств разработана профессором Калифорнийского университета Беркли Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh) в работах: «Fuzzy sets» (1965 г) и «Fuzzy logic» (1975 г). University of California, Berkeley Professor Lotfi A. Zadeh 4

Примеры использования нечеткой логики q Движением пригородных поездов до японского города Сендай, начиная с 1987 года управляет система, основанная на нечеткой логике q Создание управляющего микропроцессора на основе нечеткой логики, способного автоматически решать «задачу о собаке, догоняющей кота» (Министерство обороны США) q Matsuhita в феврале 1991 года анонсировала первую «интеллектуальную» стиральную машину, в системе управления которой применялась нечеткая логика q Решения сложнейших задач прогнозирования различных финансовых индикаторов (японская корпорация Yamaichi) q Один из отечественных программных продуктов - пакет “Бизнес-прогноз” для оценки прибыльности инвестиционных проектов. Замечание: Нечеткие системы управления и прогнозирования основаны на нечеткой базе знаний и использовании лингвистических переменных. В основу функционирования положен механизм нечеткого вывода. 5

q Чтобы понять, что дает применение нечеткой логики в системах управления, рассмотрим простой пример. Представьте себе, что вам необходимо разработать систему управления тяжелым длинномерным грузовиком, способную автоматически загонять его в узкий гараж из произвольной начальной точки. Если вы попытаетесь решить эту задачу классическим способом, то вам можно только посочувствовать. Придется в буквальном смысле слова увешать автомобиль всевозможными датчиками и акселерометрами, после чего привлечь пару докторов наук для составления отнюдь не простой системы уравнений в частных производных. q Использование нечеткой логики принципиально упрощает задачу. Прежде всего, используя лишь три нечетких параметра - скорость и ориентацию автомобиля и расстояние до гаража, вы получаете исчерпывающее описание текущей ситуации. Далее вы строите простую и естественную систему нечетких правил типа : q <Если до гаража достаточно далеко, скорость невелика, а нос смотрит влево возьми правее>. . 6

Лингвистическая переменная Опр1 (упрощенное): Лингвистическая переменная - переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Пример1: Давление = { большое, низкое, среднее } Пример1: Опр2 (полное): термы (T) Лингвистическая переменная - набор < b, T, X, G, M >, где • b – наименование лингвистической переменной; • Т – множество ее значений (базовое терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных на области определения X; • G – синтаксическая процедура, позволяющая генерировать новые термы. Множество T G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, – расширенное терм-множество; • М – семантическая процедура, превращающая каждый терм из G(T) в нечеткую переменную. нечеткие переменные Пример1: G(T)={ низкое или среднее, очень большое …} Пример1: 7

Пример2: ЛП «температура в комнате» b = «температура в комнате» - имя лингвистической переменной; X = [5, 35] – универс определения; T = {"холодно", "комфортно", "жарко"} - базовое терм-множество; G - синтаксические правила, порождающее новые термы с использованием квантификаторов "и", "или", "не", "очень", "более-менее"; М - процедура, ставящая каждому новому терму в соответствие функцию принадлежности (т. е. задавая нечеткое множество) по правилам: если термы А и В имели функции принадлежности μа(x) и μB(x) соответственно, то новые термы будут иметь функции принадлежности: Квантификатор Функция принадлежности: не t очень t более-менее t А и В max(μA(x), μB(x)) А или В min(μA(x), μB(x)) 8

Нечёткая переменная Нечеткая переменная характеризуется тройкой < a, X, A >, где • a - наименование переменной, • X - универсальное множество (область определения), • A – функция принадлежности, определённая для всех элементов x X и говорящая о степени уверенности в том, что х является значением данной переменной. Пример: Нечеткая переменная «высокий рост» , • где «высокий рост» - наименование переменной, • Х = [130, 240], • А – функция принадлежности элементов из универса X данной нечеткой переменной. Пояснение: Нечеткая переменная – именованное нечеткое множество 9

Нечёткое множество (fuzzy set) Нечеткое множество – подмножество элементов А из универса Е такое, что каждому элементу сопоставлена степень принадлежности этого элемента множеству A. q Нечеткое множество полностью определяется заданием функции принадлежности μА(x): ее область определения – x Е, область значений – отрезок [0, 1]. q Чем выше значение μА(x): , тем выше оценивается степень принадлежности элемента x E нечеткому множеству А. Пример: Нечеткое множество «Оптимальный возраст работника» : A=[20, 70], E=[0, 100], функция принадлежности, полученная на основе опроса ряда экспертов: 10

Нечёткое множество: пример • Проиллюстрируем еще раз на простом примере. Формализуем неточное определение "горячий чай". В качестве x (область рассуждений) будет выступать шкала температуры в градусах Цельсия. Очевидно, что она будет изменяется от 0 до 100 градусов. Нечеткое множество для понятия "горячий чай" может выглядеть следующим образом: • C={0/0; 0/10; 0/20; 0, 15/30; 0, 30/40; 0, 60/50; 0, 80/60; 0, 90/70; 1/80; 1/90; 1/100}. • Так, чай с температурой 60 С принадлежит к множеству "Горячий" со степенью принадлежности 0, 80. Для одного человека чай при температуре 60 С может оказаться горячим, для другого – не слишком горячим. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества 11

Операции над нечёткими множествами Даны нечеткие множества А и В с функциями принадлежности: А(u) и B(u), тогда результат операций - нечеткое множество с функцией принадлежности C(u), причем: – если С = А В, то C(u) = min( А(u), B(u)); – если С = А В, то C(u) = max( А(u), B(u)); – если С = , то C(u) = 1 - А(u). Пример: Пусть A - нечеткое множество «числа от 5 до 8» и B – нечеткое множество «числа около 4» , заданные своими функциями принадлежности ( E =[0, 10] ) «от 5 до 8 и около 4» «от 5 до 8 или около 4» «не от 5 до 8» 12

Свойства операций над нечёткими множествами Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: 1)Коммутативность: 2)Ассоциативность: 3)Идемпотентность: !!! ; 4)Дистрибутивность: 5)Законы де Моргана: 6) , где - пустое множество, т. е. 7) 8) 13

Нечёткие отношения Нечеткое отношение R на четких непустых множествах A 1, A 2 … An – нечеткое множество, определенное на подмножестве декартова произведения A 1 x A 2 x…x An. q q Степень принадлежности показывает степень выполнения отношения R между элементами В случае конечных или счетных универсов интерпретация бинарного нечеткого отношения в виде взвешенного графа с весами μR(xi, yj) или матрицей Пример: Пусть , тогда нечеткое отношение «x приблизительно равно y» : 14

Функции принадлежности Рассмотрим такое нечеткое понятие как "Цена акции". Это и есть название лингвистической переменной. Сформируем для нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: "Низкая", "Умеренная", "Высокая" и зададим область рассуждений в виде X=[100; 200] (единиц). Последнее, что осталось сделать – построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового терм-множества T. Наиболее распространенные типовые формы кривых для задания функций принадлежности: треугольная, трапецеидальная и гауссова.

Функции принадлежности: треугольная Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a, b, c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

Функции принадлежности: трапециедальная Для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a, b, c, d):

Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.

Функции принадлежности: гауссиан Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой Гауссова функция принадлежности.

Описание лингвистической переменной "Цена акции" Цена акции. Сформируем для нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: "Низкая", "Умеренная", "Высокая" и зададим область рассуждений в виде X=[100; 200] (единиц)

Описание лингвистической переменной "Возраст" Формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0, 47, "Выше среднего" – 0, 20.

Нечеткий логический вывод • Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия: • Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной. • Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила). • В противном случае имеет место неполная база нечетких правил. 22

Нечеткий логический вывод Пусть в базе правил имеется m правил вида: R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … xn это A 1 n, ТО y это B 1 … Ri: ЕСЛИ x 1 это Ai 1 … И … xn это Ain, ТО y это Bi … Rm: ЕСЛИ x 1 это Ai 1 … И … xn это Amn, ТО y это Bm, где xk , k=1. . n – входные переменные; y – выходная переменная; Aik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности. Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk , k=1. . n. 23

Нечеткий логический вывод В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото. 25

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий. 1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т. е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как Aik(xk), i=1. . m, k=1. . n. 2. Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил: Далее находятся "усеченные" функции принадлежности: 26

3. Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств: где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества. 4. Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод: Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рисунок графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R 1 и R 2. 27

Процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R 1 и R 2.

Интеграция с интеллектуальными парадигмами Гибридизация методов интеллектуальной обработки информации – девиз, под которым прошли 90 -е годы у западных и американских исследователей. В результате объединения нескольких технологий искусственного интеллекта появился специальный термин – "мягкие вычисления" (soft computing), который ввел Л. Заде в 1994 году. В настоящее время мягкие вычисления объединяют такие области как: нечеткая логика, искусственные нейронные сети, вероятностные рассуждения и эволюционные алгоритмы. Они дополняют друга и используются в различных комбинациях для создания гибридных интеллектуальных систем. Влияние нечеткой логики оказалось, пожалуй, самым обширным. Подобно тому, как нечеткие множества расширили рамки классической математическую теорию множеств, нечеткая логика "вторглась" практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью. Ниже приводятся наиболее интересные примеры таких объединений 29

Нечеткие нейронные сети • Нечеткие нейронные сети (fuzzy-neural networks) осуществляют выводы на основе аппарата нечеткой логики, однако параметры функций принадлежности настраиваются с использованием алгоритмов обучения НС. Поэтому для подбора параметров таких сетей применим метод обратного распространения ошибки, изначально предложенный для обучения многослойного персептрона. Для этого модуль нечеткого управления представляется в форме многослойной сети. • Нечеткая нейронная сеть как правило состоит из четырех слоев: слоя фазификации входных переменных, слоя агрегирования значений активации условия, слоя агрегирования нечетких правил и выходного слоя. Наибольшее распространение в настоящее время получили архитектуры нечеткой НС вида ANFIS и TSK. Доказано, что такие сети являются универсальными аппроксиматорами. Быстрые алгоритмы обучения и интерпретируемость накопленных знаний – эти факторы сделали сегодня нечеткие нейронные сети одним из самых перспективных и эффективных инструментов мягких вычислений. 30

Нечеткая кластеризация Нечеткие методы кластеризации, в отличие от четких методов (например, нейронные сети Кохонена), позволяют одному и тому же объекту принадлежать одновременно нескольким кластерам, но с различной степенью. Нечеткая кластеризация во многих ситуациях более "естественна", чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров. Наиболее распространены: алгоритм нечеткой самоорганизации c-means и его обобщение в виде алгоритма Густафсона-Кесселя. Список можно продолжить и дальше: нечеткие деревья решений, нечеткие сети Петри, нечеткая ассоциативная память, нечеткие самоорганизующиеся карты и другие гибридные методы 31

Основные операции над нечёткими отношениями 1) Объединение двух отношений R 1 R 2. Пример: x. R 1 y - «действительные числа x и y очень близкие» , x. R 2 y - «числа x и y очень различны» , x(R 1 R 2)y - "числа x и y очень близкие или очень различные". Замечание: Функции принадлежности отношений заданы на |x-y|. 32

Дальше произвольная программа)) 33

2) Пересечение двух отношений R 1 ∩ R 2 Пример: x. R 1 y – «модуль разности |x-y| близок к α» , x. R 2 y – «модуль разности |x-y| близок к β» , x(R 1∩R 2) y – «модуль разности |x-y| близок к α и β» . 34

Композиция двух нечётких отношений Пусть R 1 - нечеткое отношение : (X x Y)→ [0, 1] между X и Y; R 2 - нечеткое отношение : (Y x Z) →[0, 1] между Y и Z. (sup-min)-Композиция отношений R 1 и R 2 – нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R 1 • R 2, определяемое: Пример: R 1·R 2 R 1 y 2 y 3 x 1 0, 7 0, 4 x 2 1 0, 5 0 • z 1 z 2 z 3 z 4 y 1 0, 9 0 1 0, 2 y 2 0, 3 0, 6 0 0, 9 y 3 0, 1 1 0 0, 5 z 1 z 2 z 3 z 4 x 1 0, 3 0, 6 0, 1 0, 7 x 2 0, 9 0, 5 1 0, 5 = 35

Нечеткие высказывания Тип высказывания 1)Высказывание Пояснения b – имя ЛП, b' - ее значение (терм), которому соответствует нечеткое множество на универсе Х Пример: <давление большое> 2)Высказывание m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др. Пример: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> 3)Составные высказывания образуются из высказываний видов 1 и 2 и связок "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ. . , ТО. . , ИНАЧЕ". 36